1987-全国卷理-08 单-反三角函数的图象

本题导读

本题考查反余弦函数的定义与值域，以及复合函数的图像性质。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 函数 $y=\arccos (\cos x)\left(x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]\right)$ 的图像是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反余弦函数的值域为 $[0,\pi ]$，所以 $y\ge 0$，可先排除含第四象限图象的选项。
2. 分段讨论：
   • 当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$x$ 在主值区间内，$\arccos (\cos x)=x$；
   • 当 $x\in \left[-\frac{\pi }{2},0\right)$ 时，由 $\cos x=\cos (-x)$ 得 $\arccos [\cos (-x)]=-x$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：由值域排除选项 反余弦函数的值域为： $y\in [0,\pi ]\text{(1)}$ 即函数值 $y\ge 0$，图象不会出现在 $x$ 轴下方。 B、C 两选项在 $x\in \left[-\frac{\pi }{2},0\right)$ 处出现负值（$y<0$），故排除 B、C。

• 第二步：分段求解析式 自变量范围 $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$。

  • 当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时： $x$ 在反余弦的主值区间 $[0,\pi ]$ 内，由 $\arccos (\cos \theta )=\theta (\theta \in [0,\pi ])$： $y=x\text{(2)}$ 该段图象是过原点、斜率为 1 的线段，右端点为 $\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$。 而 D 选项右端点纵坐标为 $1$，与 $\frac{\pi }{2}$ 不符，排除 D。

  • 当 $x\in \left[-\frac{\pi }{2},0\right)$ 时： 由 $\cos x=\cos (-x)$： $y=\arccos (\cos x)=\arccos [\cos (-x)]\text{(3)}$ 此时 $-x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]\subset [0,\pi ]$，故： $y=-x\text{(4)}$ 该段图象是斜率为 $-1$ 的线段，左端点为 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$。

综合式 ② 与式 ④： $y=|x|=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x\le \frac{\pi }{2}\\ -x,& -\frac{\pi }{2}\le x<0\end{array}\text{⑤}$ 图象是关于 $y$ 轴对称的“V”形折线，最高点为 $\frac{\pi }{2}$，与 A 选项一致。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反余弦函数的值域 $[0,\pi ]$、余弦函数的偶函数性质、$\arccos (\cos x)=x$ 成立的条件。
2. 核心方法：分段讨论法、奇偶性判定法。
3. 避坑指南：
   • 易错点（错选 B）：如果忽视自变量范围和反三角函数的定义，直接认为 $\arccos (\cos x)$ 恒等于 $x$，会错选直线图象 B。$\arccos (\cos x)=x$ 成立的条件是 $x\in [0,\pi ]$。
   • 注意 D 选项的顶点纵坐标标为 $1$，而实际最高点为 $y=\frac{\pi }{2}\approx 1.57$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为《反三角函数》中复合三角函数图象辨识的题目，考查反余弦函数的值域与分段讨论。
2. 结论推广：$f(x)=\arccos (\cos x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续折线函数，其分段解析式为 $f(x)=|x-2k\pi |(x\in [(2k-1)\pi ,(2k+1)\pi ],k\in \mathbf{Z})$。 本题只取 $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 这一段，即 $y=|x|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

1988-全国文-08 单-余弦函数的最小正周期 1989-全国文-11 单-三角函数的最小值 1989-全国文-06 单-半角公式求值