1987-全国文-19 解-对数不等式的恒成立

本题导读

本题考查含对数二次不等式恒成立，核心在于系数、判别式与定义域联合判定。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(文)）设对所有实数 $x$ ，不等式 $x^{2} lo g_{2} \frac{4 ( a + 1 )}{a} + 2 x lo g_{2} \frac{2 a}{a + 1} + lo g_{2} \frac{( a + 1 ) ^{2}}{4 a ^{2}} > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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由二次式恒正得系数正、判别式负，令 $z = lo g_{2} \frac{2 a}{a + 1}$ 化简。

✅【答案】

Success

$0 < a < 1$

✍【详细解析】

Abstract

由二次式恒正：二次项系数 $lo g_{2} \frac{4 ( a + 1 )}{a} > 0$ ，且判别式 $Δ = 4 [lo g_{2} \frac{2 a}{a + 1}]^{2} - 4 lo g_{2} \frac{4 ( a + 1 )}{a} \cdot lo g_{2} \frac{( a + 1 ) ^{2}}{4 a ^{2}} < 0$ 。令 $z = lo g_{2} \frac{2 a}{a + 1}$ ，化简得 $0 < z < 6$ ，即 $0 < lo g_{2} \frac{2 a}{a + 1} < 1$ ，解得 $0 < a < 1$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数不等式的恒成立

核心方法：二次项系数、判别式、常数项三条件联立，令 $z = lo g_{2} \frac{2 a}{a + 1}$ 化简。

避坑指南：注意对数的定义域与不等式方向，最终 $0 < a < 1$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数不等式恒成立。

结论推广：二次式恒成立需系数、判别式、常数项联合判定。

方法推广：换元 $z = lo g_{2} \frac{2 a}{a + 1}$ 降次。

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