1987-全国文-11 填-二项展开式系数的关系

本题导读

本题考查二项展开式中系数的关系。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(文)） 若 $(1+x{)}^n$ 的展开式中，$x^3$ 的系数等于 $x$ 的系数的 7 倍，求 $n$.

🔍【思路分析】

破题导航

$C_n^3=7C_n^1$，解方程求 $n$。

✅【答案】

Success

$8$

✍【详细解析】

Abstract

$x^3$ 系数为 $C_n^3$，$x$ 系数为 $C_n^1$，由 $C_n^3=7C_n^1$ 得 $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=7n$，解得 $n=8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式系数的关系

核心方法：$(1+x{)}^n$ 中 $x^3$ 系数 $C_n^3$、$x$ 系数 $C_n^1$，由 $C_n^3=7C_n^1$ 求 $n$。

避坑指南：$C_n^3=7n\Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)}{6}=7n\Rightarrow n=8$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数关系。

结论推广：$(1+x{)}^n$ 中 $x^k$ 系数为 $C_n^k$。

方法推广：由系数比建立关于 $n$ 的方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-07 单-二项式展开式的系数
• 1989-全国文-05 单-二项式展开系数的和
• 1990-全国文-17 填-多项式展开式的系数