2000-上海卷理-09 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的应用。解题核心在于正确区分“二项式系数”（恒为正）与“项的系数”（带正负号），并利用组合数的对称性与大小规律，找出负数项中绝对值最大的项，从而确定系数的最小值。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 在二项式 $(x-1{)}^{11}$ 的展开式中，系数最小的项的系数为$\underline{}$. (结果用数值表示)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出展开式的通项：根据二项式定理，展开式的第 $r+1$ 项为 $T_{r+1}=C_{11}^r{x}^{11-r}(-1{)}^r=(-1{)}^r{C}_{11}^r{x}^{11-r}$。
2. 分析项的系数：该项的系数为 $[-1{]}^r{C}_{11}^r$。由于存在 $(-1{)}^r$，系数符号正负交替：

• 当 $r$ 为偶数时，系数为正数；
• 当 $r$ 为奇数时，系数为负数。

3. 确定最小值位置：要使系数最小，该系数必须为负数（即 $r$ 为奇数），且其绝对值 $C_{11}^r$ 必须达到最大。
4. 计算最大组合数：根据组合数的性质，当 $n=11$ 时，中间的两项二项式系数 $C_{11}^5$ 和 $C_{11}^6$ 最大。其中符合 $r$ 为奇数条件的只有 $r=5$。
5. 求出数值：计算 $-C_{11}^5$ 的具体数值。

✅【答案】

Success

$-462$

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式展开公式，$(x-1{)}^{11}$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_{11}^r\cdot x^{11-r}\cdot (-1{)}^r=(-1{)}^r{C}_{11}^r{x}^{11-r}(r=0,1,2,\cdots ,11)$

因此，第 $r+1$ 项的系数为： $\text{系数}=(-1{)}^r{C}_{11}^r$

我们要寻找展开式中系数最小的项。

• 因为 $C_{11}^r>0$ 恒成立，要使系数最小，该系数必须为负数，因此 $r$ 必须为奇数（即 $r=1,3,5,7,9,11$）。
• 在所有负数系数中，绝对值 $C_{11}^r$ 最大的项对应的系数即为最小值。

根据组合数（二项式系数）的性质，当 $n=11$（奇数）时，展开式共有 12 项，中间两项的二项式系数最大，即： $C_{11}^5=C_{11}^6$

检查 $r$ 的奇偶性：

• 当 $r=5$ 时， $r$ 为奇数，对应的项系数为 $(-1{)}^5{C}_{11}^5=-C_{11}^5$；
• 当 $r=6$ 时， $r$ 为偶数，对应的项系数为 $(-1{)}^6{C}_{11}^6=+C_{11}^6$（为正数）。

由此可知，系数最小的项在 $r=5$ 处取得，最小系数为 $-C_{11}^5$。

计算其具体数值： $-C_{11}^5=-\frac{11\times 10\times 9\times 8\times 7}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=-(11\times 3\times 2\times 7)=-462$

答案： -462

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式中“项的系数”的大小比较；组合数 $C_n^r$ 的对称性与单调性变化。
2. 核心方法：正负分流与极值点匹配法。
3. 避坑指南：

• 极其容易混淆“二项式系数”与“项的系数”。如果题目问“二项式系数最大的是”，答案应为 $C_{11}^5=462$；但问“系数最小”，必须考虑正负号，答案为 $-462$。
• 计算组合数时容易忙中出错，利用分母中的 $5\times 2=10$ 与分子中的 $10$ 约分， $4\times 3=12$ 与分子的 $9\times 8=72$ 约简，可提升计算准确度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为二项式定理性质考查的常青树题型，着重训练学生审题的严谨度（区分各项系数的不同定义）。
2. 结论推广：对于二项式 $(x-1{)}^n$ 的展开式：

• 若 $n$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-11 填-二项展开式系数的关系
• 1987-上海-02 填-二项式系数之和
• 1987-上海-11 填-二项展开式系数的差