1985-全国理-09 填-赋值法求系数和

本题导读

本题考查二项展开式的系数和，以及赋值法（令 $x=1$）的运用。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 设 $(3x-1{)}^6=a_6{x}^6+a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$，求 $a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$ 的值 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察所求为各项系数之和，即 $f(1)$。
2. 令 $x=1$ 代入两边即可。

✅【答案】

Success

$64$

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=(3x-1{)}^6=a_6{x}^6+a_5{x}^5+\cdots +a_{1}x+a_0$。 令 $x=1$，左边 $f(1)=(3\cdot 1-1{)}^6=2^6=64$，右边为 $a_6+a_5+\cdots +a_1+a_0$。 故 $a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=64$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 赋值法：展开式的系数和 = 令 $x=1$；各项系数正负交替时，用 $x=-1$ 求”偶次项系数和减奇次项系数和”。
• 别逐个展开：直接展开 $(3x-1{)}^6$ 再求系数和过于繁琐，赋值法是标准解法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于二项式定理，考查赋值法求展开式系数和，是多项式恒等变形的基本题型，体现”特殊值代入”思想。

2. 结论推广：对 $(ax+b{)}^n=a_n{x}^n+\cdots +a_0$，各项系数和为 $(a+b{)}^n$（令 $x=1$）。

3. 方法推广：求系数和、偶次项系数和、奇次项系数和，分别令 $x=1$、$x=-1$ 联立求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-11 填-二项展开式系数的关系
• 1987-上海-02 填-二项式系数之和