1987-上海-05 填-组合体的体积

本题导读

本题考查组合体的体积，用圆柱减去圆锥和半球。

📌【题干】

Question

（1987年上海卷） 在底面半径为 $a$，高为 $2a$ 的圆柱中，分别挖去一个底面半径及高均为 $a$ 的圆锥与一个半径为 $a$ 的半球，则剩下部分的体积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$V_{\text{圆柱}}-V_{\text{圆锥}}-V_{\text{半球}}$。

✅【答案】

Success

$\pi a^3$

✍【详细解析】

Abstract

$V=\pi a^2\cdot 2a-\frac{1}{3}\pi a^2\cdot a-\frac{2}{3}\pi a^3=2\pi a^3-\frac{1}{3}\pi a^3-\frac{2}{3}\pi a^3=\pi a^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合体的体积

核心方法：圆柱体积 $2\pi a^3$ 减去圆锥 $\frac{1}{3}\pi a^3$ 与半球 $\frac{2}{3}\pi a^3$。

避坑指南：$2\pi a^3-\frac{1}{3}\pi a^3-\frac{2}{3}\pi a^3=\pi a^3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：组合体体积。

结论推广：圆柱挖去圆锥与半球。

方法推广：整体减去部分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1989-上海-04 填-正四棱锥的体积
• 1989-全国文-03 单-圆锥的侧面积
• 1988-全国文-19 填-旋转体的体积