1986-广东理-13 单-三角函数的最值

本题导读

本题考查三角函数的最值。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 函数 $y=\cos x-{\sin }^{2}x-\cos 2x+\frac{7}{4}$ 的最大值是 ()

A. $\frac{7}{4}$　　　　B. $2$　　　　C. $\frac{9}{4}$　　　　D. $\frac{17}{4}$　　　　E. $\frac{19}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$，$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$，化为 $\cos x$ 的二次函数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$y=\cos x-(1-{\cos }^{2}x)-(2{\cos }^{2}x-1)+\frac{7}{4}=-{\cos }^{2}x+\cos x+\frac{7}{4}$。令 $t=\cos x\in [-1,1]$，$y=-t^2+t+\frac{7}{4}=-(t-\frac{1}{2}{)}^2+2$。故最大值 $2$（$t=\frac{1}{2}$ 时）。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最值

核心方法：$y=\cos x-{\sin }^{2}x-\cos 2x+\frac{7}{4}$ 化二次函数。

避坑指南：最大 $2$，选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角最值。

结论推广：化二次函数。

方法推广：配方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-03 单-三角函数的最值
• 1990-全国文-08 单-三角函数的值域