1986-广东文-19 单-三角函数的最小值

本题导读

本题考查三角函数的最小值。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 函数 $y=-2{\cos }^{2}x-2\sin x+\frac{9}{2}$ 的最小值是 ()

A. $\frac{5}{2}$　　　　　B. $2$　　　　　C. $\frac{9}{2}$　　　　　D. $3$　　　　　E. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$，化为 $\sin x$ 的二次函数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$y=-2(1-{\sin }^{2}x)-2\sin x+\frac{9}{2}=2{\sin }^{2}x-2\sin x+\frac{5}{2}=2(\sin x-\frac{1}{2}{)}^2+2$。当 $\sin x=\frac{1}{2}$ 时取最小值 $2$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最小值

核心方法：化为 $y=2{\sin }^{2}x-2\sin x+\frac{5}{2}=2(\sin x-\frac{1}{2}{)}^2+2$。

避坑指南：$\sin x=\frac{1}{2}$ 时最小值 $2$，选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 13 题同考三角最值。

结论推广：化为 $\sin x$ 的二次函数后用配方法。

方法推广：注意 $\sin x\in [-1,1]$，对称轴在区间内取顶点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-13 单-三角函数的最值
• 1987-广东理-03 单-三角函数的最值