1986-广东文-32 填-二项式常数项

本题导读

本题考查二项式展开式的常数项。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） ${\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^6$ 展开式中常数项的值是\u3000\u3000.

🔍【思路分析】

破题导航

通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k{x}^{6-k}(-2x^{-\frac{1}{2}}{)}^k$，令指数为零。

✅【答案】

Success

$240$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k{x}^{6-k}{\left(-2x^{-\frac{1}{2}}\right)}^k={\mathrm{C}}_6^k(-2{)}^k{x}^{6-k-\frac{k}{2}}$。令 $6-k-\frac{k}{2}=0$，得 $k=4$。常数项 $={\mathrm{C}}_6^4(-2{)}^4=15\times 16=240$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式常数项

核心方法：通项指数 $6-k-\frac{k}{2}=0\Rightarrow k=4$。

避坑指南：${\mathrm{C}}_6^4\cdot (-2{)}^4=15\times 16=240$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 全国文第 15 题同考二项式常数项。

结论推广：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k{x}^{6-k}(-\frac{2}{\sqrt{x}}{)}^k$。

方法推广：令 $x$ 的指数为零求 $k$，系数带上符号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-15 填-二项式的常数项
• 1986-广东理-32 填-二项式系数绝对值之和