1986-广东文-27 填-对数函数的反函数

本题导读

本题考查对数函数的反函数。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 函数 $y=2{\log }_{3}x$（$x>0$）的反函数是\u3000\u3000.

🔍【思路分析】

破题导航

从 $y=2{\log }_{3}x$ 解出 $x$。

✅【答案】

Success

$y=(\sqrt{3}{)}^x$（$x\in \mathbf{R}$）

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=2{\log }_{3}x$ 得 ${\log }_{3}x=\frac{y}{2}$，故 $x=3^{\frac{y}{2}}=(\sqrt{3}{)}^y$。交换 $x$、$y$ 得反函数 $y=(\sqrt{3}{)}^x$，其定义域为原函数的值域 $\mathbf{R}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的反函数

核心方法：$x=2{\log }_{3}y\Rightarrow y=3^{\frac{x}{2}}=(\sqrt{3}{)}^x$。

避坑指南：反函数 $y=(\sqrt{3}{)}^x$（$x\in \mathbf{R}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 26 题同题。

结论推广：反函数：从 $y=2{\log }_{3}x$ 解出 $x$。

方法推广：$3^{\frac{x}{2}}=(\sqrt{3}{)}^x$，底数写成 $\sqrt{3}$ 更简洁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-26 填-对数函数的反函数
• 1987-上海-01 填-反函数