1986-全国理-02 单-反函数的求解

本题导读

本题考查反函数的概念与求法，以及指数函数与对数函数的互逆关系。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 函数 $y=(0.2{)}^{-x}+1$ 的反函数是 ()

A. $y={\log }_5(x+1)$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $y={\log }_{x}5+1$

C. $y={\log }_5(x-1)$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $y={\log }_{5}x-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简原函数底数：将分形小数 $0.2$ 转化为分数 $\frac{1}{5}$，结合负指数幂性质化简指数表达式。
2. 移项孤立指数项，将常数项移至等号左侧。
3. 利用指数与对数的互逆映射关系，反解出以 $y$ 表征的自变量 $x$ 的代数式。
4. 确定原函数的值域，作为反函数的定义域，最后进行 $x,y$ 字母对调。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C 【解析过程】 因为 $0.2=\frac{1}{5}=5^{-1}$，所以 $y=(0.2{)}^{-x}+1=(5^{-1}{)}^{-x}+1=5^x+1$。 由 $5^x>0$ 知 $y>1$，即原函数的值域为 $(1,+\infty )$。 由 $y=5^x+1$ 得 $5^x=y-1$，故 $x={\log }_5(y-1)$。 将 $x$、$y$ 对调，并把原函数的值域作为反函数的定义域，得反函数为 $y={\log }_5(x-1)$，其中 $x>1$。 分析选项： A 选项：$y={\log }_5(x+1)$，错误； B 选项：$y={\log }_{x}5+1$，错误； C 选项：$y={\log }_5(x-1)$，正确； D 选项：$y={\log }_{5}x-1$，错误。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 底数化简：$0.2=\frac{1}{5}=5^{-1}$，这一步把底数统一为 $5$，是后续取对数的关键。
• 定义域传递：反函数的定义域是原函数的值域。由 $5^x>0$ 得原函数值域为 $(1,+\infty )$，故反函数应注明 $x>1$，这也是区分 C、A 两选项的依据。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于指数函数与反函数概念，考查 $y=a^x+c$ 型函数反函数的求解，核心是底数互化与值域定定义域，属教材基本题型。

2. 结论推广：形如 $y=a^{px+q}+c$（$a>0,a\ne 1$）的函数，其反函数为 $y=\frac{{\log }_a(x-c)-q}{p}$。

3. 方法推广：求反函数遵循「反解 $x$ → 对调 $x,y$ → 用原函数值域定反函数定义域」三步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-02 单-反函数的求解
• 1986-广东文-27 填-对数函数的反函数
• 1986-广东理-25 单-反函数的图象
• 1987-全国文-02 单-椭圆的准线方程