1986-全国理-18 解-对数不等式的求解

本题导读

本题考查对数不等式的解法、对数函数的单调性与定义域。核心在于等价转化法、数轴交集法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 当 $\sin 2x>0$，求不等式 ${\log }_{0.5}(x^2-2x-15)>{\log }_{0.5}(x+13)$ 的解集.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对数不等式的等价降维：
   • 观察对数底数为 $0.5$。因为 $0<0.5<1$，所以对数函数 $y={\log }_{0.5}u$ 在定义域内为严格单调递减函数。
   • 脱去对数外壳时，不等号方向必须发生逆转。
2. 构建真数定义域约束：
   • 根据对数真数必大于零的充要条件，需保证两侧的代数多项式均严格大于零。
   • 综上，对数不等式等价于联立代数不等式组： $0<x^2-2x-15<x+13$。
3. 推导三角边界约束：
   • 求解 $\sin 2x>0$，根据正弦函数图像的象限分布确定 $2x$ 的弧度范围，进而反解出自变量 $x$ 的周期性区间集合。
4. 数轴求交集：
   • 计算代数不等式组的有限区间，将其与三角函数无限周期区间集在数轴上进行重叠切片，输出最终解集。

✅【答案】

Success

$(-\pi ,-3)\cup (2\pi ,7)$

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：解对数不等式。 因为底数 $0.5\in (0,1)$，$y={\log }_{0.5}u$ 单调递减，故原不等式等价于 $\{\begin{array}{l}{x}^2-2x-15>0\\ x+13>0\\ x^2-2x-15<x+13\end{array}$。 由 $x^2-2x-15=(x-5)(x+3)>0$ 得 $x>5$ 或 $x<-3$； 由 $x+13>0$ 得 $x>-13$； 由 $x^2-2x-15<x+13$ 得 $x^2-3x-28=(x-7)(x+4)<0$，即 $-4<x<7$。 三者取交集，得代数解集 $M=\{x\mid -4<x<-3\text{或}5<x<7\}$。

第二步：解 $\sin 2x>0$。 由正弦函数图象得 $2k\pi <2x<2k\pi +\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），即 $k\pi <x<k\pi +\frac{\pi }{2}$，记三角解集为 $N$。

第三步：求 $M\cap N$。 $\pi \approx 3.14$，$\frac{\pi }{2}\approx 1.57$。把 $N$ 的各周期分支与 $M$（落在 $(-4,7)$ 内）求交： 当 $k=-1$ 时，区间为 $(-\pi ,-\frac{\pi }{2})\approx (-3.14,-1.57)$，与 $(-4,-3)$ 的交集为 $-\pi <x<-3$； 当 $k=0$ 时，$(0,\frac{\pi }{2})$ 与 $M$ 无交集； 当 $k=1$ 时，$(\pi ,\frac{3\pi }{2})$ 与 $M$ 无交集； 当 $k=2$ 时，$(2\pi ,2\pi +\frac{\pi }{2})\approx (6.28,7.85)$，与 $(5,7)$ 的交集为 $2\pi <x<7$； 其余各分支均在 $(-4,7)$ 之外，交集为空。 综上，解集为 $(-\pi ,-3)\cup (2\pi ,7)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 真数大于零：脱对数时必须同时保证两个真数 $x^2-2x-15>0$ 和 $x+13>0$，漏掉真数条件会把解集错误地扩大到整个 $(-4,7)$。
• 底数决定方向：底数 $0.5<1$，对数函数递减，脱对数后不等号要反向。
• 边界截断：$-4<-\pi \approx -3.14$，故 $k=-1$ 时左边界被 $-\pi$ 截断；$7>2\pi \approx 6.28$，故 $k=2$ 时右边界被 $7$ 截断。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于对数函数单调性与三角函数周期性的交汇，考查复合不等式的等价转化与数轴求交，是八十年代高考”代数+三角”综合的典型题。

2. 结论推广：${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)$ 当 $a>1$ 时等价于 $f(x)>g(x)>0$；当 $0<a<1$ 时等价于 $0<f(x)<g(x)$。

3. 方法推广：含三角条件的对数不等式，先分别解出代数解集和三角解集，再在数轴上求交集，注意周期性分支的截断。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-31 解-对数不等式的求解
• 1987-全国卷理-18 解-含参对数不等式恒成立
• 1987-全国文-19 解-对数不等式的恒成立
• 1988-全国文-24 解-对数不等式
• 1990-全国文-24 解-含参对数不等式
• 1989-全国文-17 填-指数与对数不等式