1986-上海文-25 填-二项式一次项系数

本题导读

本题考查二项式展开式中指定项系数的求法。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(文)） ${\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^8$ 的展开式中，$x$ 的一次项的系数是$\underline{}$.（★校勘：原卷答案册文本层印作“$3\sqrt{x}$”，系 $\sqrt[3]{x}$ 的 OCR 误读，按系数 $28=C_8^2$ 裁定.）

🔍【思路分析】

破题导航

通项 $T_{j+1}=C_8^j(\sqrt[3]{x}{)}^{8-j}{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^j$，令 $x$ 指数为 $1$。

✅【答案】

Success

$28$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{j+1}=C_8^j{x}^{\frac{8-j}{3}}(-1{)}^j{x}^{-\frac{j}{2}}=C_8^j(-1{)}^j{x}^{\frac{8-j}{3}-\frac{j}{2}}$。指数 $\frac{8-j}{3}-\frac{j}{2}=\frac{16-5j}{6}=1\Rightarrow 16-5j=6\Rightarrow j=2$。系数 $C_8^2(-1{)}^2=28$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式一次项系数

核心方法：$(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^8$ 通项指数 $\frac{16-5j}{6}=1$。

避坑指南：$j=2$，系数 $C_8^2(-1{)}^2=28$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式特定项。

结论推广：通项令指数为 1。

方法推广：留意根指数读法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 1988-上海-08 填-二项式系数
• 1994-上海理-08 填-二项式展开的指定项系数