1985-全国文-15 解-三棱锥二面角与内切圆

本题导读

本题考查二面角与三角形内心的关系。核心在于由侧面与底面所成角相等推出射影是内心。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 已知三棱锥 $V-ABC$ 的三个侧面与底面所成的二面角都是 $\beta$，它的高是 $h$. 求这个棱锥底面的内切圆半径.

🔍【思路分析】

破题导航

射影 $H$ 到三边等距 $\Rightarrow$ $H$ 是内心；在含高的直角三角形中用 $\tan \beta$ 求 $HD$。

✅【答案】

Success

内切圆半径为 $h\cot \beta$

✍【详细解析】

Abstract

设 $H$ 是顶点 $V$ 在底面 $ABC$ 上的射影，过 $H$ 向底面边 $AB$ 作垂线，垂足为 $D$。则 $VH\perp AB$，$HD\perp AB$，所以平面 $VHD$ 垂直于 $AB$，且二面角的平面角为 $\angle VDH=\beta$。在直角三角形 $VHD$ 中，$VH=h$，故由 $\tan \beta =\frac{VH}{HD}=\frac{h}{HD}$，得 $HD=h\cot \beta$。对底面另外两边作同样的垂线，可得 $H$ 到三边的距离都等于 $h\cot \beta$。因而 $H$ 是三角形 $ABC$ 的内心，底面的内切圆半径为 $h\cot \beta$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥二面角与内切圆

核心方法：射影 $H$ 到三边等距 $\Rightarrow$ $H$ 是内心。

避坑指南：$HD=h\cot \beta$ 即内切圆半径。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1987 广东理第 16 题同考二面角。

结论推广：侧面与底面所成角相等 $\Rightarrow$ 射影是内心（面积法亦可得 $r=h\cot \beta$）。

方法推广：二面角平面角的构造：在侧面内作棱的垂线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 1992-三南-20 填-三角形的内切圆
• 1987-广东理-16 单-三棱锥的二面角