1985-全国文-05 单-排列计数（五位数）

本题导读

本题考查排列计数中的定位限制问题。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 用 $1,2,3,4,5$ 这五个数字，可以组成比 $20000$ 大，并且百位数不是数字 $3$ 的没有重复数字的五位数，共有 ()

A. $96$ 个　B. $78$ 个　C. $72$ 个　D. $64$ 个

🔍【思路分析】

破题导航

先算首位 $2/3/4/5$ 的全体 $4\times 4!=96$，再减去百位为 $3$ 的。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

比 $20000$ 大即首位为 $2,3,4,5$ 之一：$4\times A_4^4=96$ 个。其中百位为 $3$ 的：若首位也是 $3$ 则百位不能再是 $3$，故首位只有 $2,4,5$ 三种选择，剩余三个位置（含百位 $3$ 已定）全排 $3!=6$，共 $3\times 6=18$ 个。所以所求为 $96-18=78$ 个。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列计数（五位数）

核心方法：先算首位 $2/3/4/5$ 全体 $4\times 4!=96$，再减百位为 $3$ 的。

避坑指南：百位 $=3$：首位只余 $3$ 种、末三位 $3!$，$96-18=78$，选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1995 全国文第 15 题同考排数计数。

结论推广：“至多/至少/不在某位”用全集减子集（对称思想）。

方法推广：定位限制条件优先处理首位与特殊位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-15 单-排列数的实际应用（三位偶数）