1993-旧高考理-21 填-组合计数与次品抽取

本题导读

本题考查排列组合与计数原理，以及分类加法计数原理。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 在 50 件产品中有 4 件是次品，从中任意抽出 5 件，至少有 3 件是次品的抽法共$\underline{}$种（用数字作答）.

🔍【思路分析】

破题导航

元素分类：50 件产品分为 2 类：

• 次品：4 件；
• 正品：$50-4=46$ 件。 “至少”条件的逻辑转化：要求抽出的 5 件产品中“至少有 3 件是次品”，由于次品总共只有 4 件，因此符合要求的次品件数只能是 3 件 或 4 件。 分步与分类计数：
• 第一类情况：恰有 3 件次品，则必须包含 $5-3=2$ 件正品。
• 第二类情况：恰有 4 件次品，则必须包含 $5-4=1$ 件正品。 组合数求值：分别利用组合数公式 $C_n^m$ 计算两类情况的种数，最后相加。

✅【答案】

Success

$4186$

✍【详细解析】

Abstract

解： 将 50 件产品分为两类：次品 4 件，正品 $50-4=46$ 件。 从中任意抽出 5 件，要求“至少有 3 件是次品”。根据次品的件数，可以将抽法分为以下两类互斥的情况：

第一类：恰有 3 件次品，2 件正品

• 从 4 件次品中任意抽取 3 件，抽法有 ${\mathrm{C}}_4^3$ 种；
• 从 46 件正品中任意抽取 2 件，抽法有 $C_{46}^2$ 种。 根据分步乘法计数原理，此情况的抽法总数为： $N_1={\mathrm{C}}_4^3\cdot C_{46}^2$

进行具体数值计算： ${\mathrm{C}}_4^3={\mathrm{C}}_4^1=4$ $C_{46}^2=\frac{46\times 45}{2\times 1}=23\times 45=1035$ $N_1=4\times 1035=4140$

第二类：恰有 4 件次品，1 件正品

• 从 4 件次品中任意抽取 4 件，抽法有 ${\mathrm{C}}_4^4$ 种；
• 从 46 件正品中任意抽取 1 件，抽法有 $C_{46}^1$ 种。 根据分步乘法计数原理，此情况的抽法总数为： $N_2={\mathrm{C}}_4^4\cdot C_{46}^1$

进行具体数值计算： ${\mathrm{C}}_4^4=1$ $C_{46}^1=46$ $N_2=1\times 46=46$

根据分类加法计数原理，至少有 3 件是次品的总抽法种数为两类情况之和： $N=N_1+N_2=4140+46=4186$

后答：4186

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分类加法与分步乘法计数原理的综合运用，大数乘除法的组合数准确计算。
2. 核心方法：直接分类讨论法。
3. 避坑指南：
   • 题目要求“用数字作答”，因此绝对不能把形如 $C_4^3{C}_{46}^2+C_4^4{C}_{46}^1$ 的算式直接写在答题纸上，必须彻底计算出最终的整数结果。
   • 避免盲目用间接法（正难则反）。如果用总抽法减去 0 件、1 件、2 件次品的情况，由于要计算 $C_{50}^5$、 $C_{46}^5$ 等极大数字，计算量会成倍增加，极易在中途发生算术失误。本题直接分类只有两项，计算量最紧凑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于排列组合与初等概率板块的经典抽样计数填空题。取材于高中代数教材中“组合与组合数公式的应用”一节的课后重点达标练习。
2. 结论推广：从含有 $M$ 件次品、 $N$ 件正品的总体中任意抽取 $n$ 件产品，其中恰有 $k$ 件次品的抽法种数满足超几何计数模型： $W(k)=C_M^k\cdot C_N^{n-k}$ 要求至少有 $m$ 件次品（$m\le M$）的通用推广公式为： $\text{总种数}={\sum }_{k=m}^{\min (M,n)}{C}_M^k\cdot C_N^{n-k}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1985-全国文-05 单-排列计数（五位数）
• 1985-广东文-20 单-受限排列计数