1985-上海文-21 解-抛物线与定比轨迹

本题导读

本题考查定比分点与轨迹方程。核心在于先表示中间点 $N$，再表达 $P$，最后消参。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(文)） 如图，由抛物线 $y=x^2+2$ 上的点 $M(x_0,y_0)$ 向直线 $y=\frac{1}{2}x$ 作垂线，垂足为 $N$，延长 $MN$ 至 $P$ 点，使点 $N$ 分线段 $MP$ 成定比 $\lambda =\frac{MN}{NP}=4$.

(1)用 $x_0$，$y_0$ 表示点 $N$ 的坐标 $(x_1,y_1)$；

(2)用 $x_0$，$y_0$ 和 $x_1$，$y_1$ 表示点 $P$ 的坐标 $(x,y)$；

(3)求：当点 $M$ 沿抛物线移动时，点 $P$ 的轨迹方程，并道明轨迹是什么图形.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)设 $N=(2t,t)$ 用垂直条件解 $t$；(2)由 $N=\frac{M+4P}{5}$ 得 $P=\frac{5N-M}{4}$；(3)代入 $y_0=x_0^2+2$ 消 $x_0$。

✅【答案】

Success

$x=2{\left(y+\frac{3}{8}\right)}^2+\frac{23}{32}$，轨迹是抛物线

✍【详细解析】

Abstract

(1)直线 $y=\frac{1}{2}x$ 上的点可设 $N=(2t,t)$。因 $MN$ 垂直于该直线，而直线方向向量为 $(2,1)$，故 $(x_0-2t,y_0-t)\cdot (2,1)=0$，解得 $t=\frac{2x_0+y_0}{5}$，从而 $x_1=2t=\frac{4x_0+2y_0}{5}$，$y_1=t=\frac{2x_0+y_0}{5}$。(2)因 $M,N,P$ 共线且 $MN:NP=4:1$，由内分点公式 $N=\frac{M+4P}{5}$，故 $P=\frac{5N-M}{4}$，即 $x=\frac{5x_1-x_0}{4}$，$y=\frac{5y_1-y_0}{4}$。(3)将(1)代入(2)得 $x=\frac{3x_0+2y_0}{4}$，$y=\frac{x_0}{2}$。又 $M$ 在抛物线上，$y_0=x_0^2+2$，于是 $x=\frac{2x_0^2+3x_0+4}{4}$，$x_0=2y$。消去 $x_0$ 得 $x=\frac{2(2y{)}^2+3(2y)+4}{4}=2y^2+\frac{3}{2}y+1=2(y+\frac{3}{8}{)}^2+\frac{23}{32}$。因 $x_0$ 可取任意实数，$y=\frac{x_0}{2}$ 也可取任意实数，故轨迹是完整的抛物线 $x=2(y+\frac{3}{8}{)}^2+\frac{23}{32}$，顶点 $(\frac{23}{32},-\frac{3}{8})$，对称轴 $y=-\frac{3}{8}$，开口向 $x$ 轴正向。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与定比轨迹

核心方法：定比分点 + 轨迹方程

避坑指南：$\lambda =4$ 时 $N=\frac{M+4P}{5}$，消参得抛物线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轨迹方程是解析几何压轴

结论推广：相关点法求轨迹

方法推广：先表示中间点再消参

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-12 单-圆心轨迹
• 1988-上海-09 填-动点轨迹方程