1984-全国文-05 单-椭圆与双曲线的离心率

本题导读

本题考查方程两根与圆锥曲线离心率的匹配。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(文)） 方程 $x^2-79x+1=0$ 的两根可分别作为 ()

A. 一椭圆和一双曲线的离心率　B. 两抛物线的离心率　C. 一椭圆和一抛物线的离心率　D. 两椭圆的离心率

🔍【思路分析】

破题导航

$r_1{r}_2=1$、$r_1+r_2=79$，两根均正且一根大于 1 一根小于 1。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由韦达定理 $r_1{r}_2=1$，$r_1+r_2=79>0$，两根均为正数且不可能同为 1，故一根大于 1、另一根小于 1。椭圆离心率小于 1，双曲线离心率大于 1，抛物线离心率等于 1。故两根可分别作为一椭圆和一双曲线的离心率，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与双曲线的离心率

核心方法：韦达定理定两根范围

避坑指南：$r_1{r}_2=1$，$r_1+r_2=79>2$，一根 $>1$ 一根 $<1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：离心率与圆锥曲线分类

结论推广：椭圆 $e<1$、抛物线 $e=1$、双曲线 $e>1$

方法推广：韦达定理与离心率范围

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-07 填-双曲线的离心率
• 1986-广东文-29 填-双曲线的离心率