1998-全国卷理-16 填-圆过双曲线顶点的圆心距

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及圆与双曲线的综合。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 设圆过双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定双曲线基本量：由已知双曲线方程求出 $a,b,c$，并写出其顶点和焦点坐标。
2. 设定圆心坐标：双曲线中心为原点 $O(0,0)$。设圆心为 $M(x_0,y_0)$，已知 $M$ 在双曲线面上，满足 $\frac{x_0^2}{9}-\frac{y_0^2}{16}=1$。
3. 利用圆的定义建方程：根据圆上任意点到圆心的距离相等，圆过一个顶点和一个焦点，意味着圆心 $M$ 到该顶点和该焦点的距离相等。利用两点间距离公式列出等式。
4. 求解距离：通过代数消元求出 $x_0^2+y_0^2$ 的值，该值即为圆心到双曲线中心距离的平方。

✅【答案】

Success

$\frac{16}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 可得： $a^2=9⟹a=3$ $b^2=16⟹b=4$ $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5$

双曲线中心为原点 $O(0,0)$。其顶点为 $(\pm 3,0)$，焦点为 $(\pm 5,0)$。 根据双曲线的对称性，不妨选择右顶点 $A(3,0)$ 和右焦点 $F(5,0)$。

设圆心坐标为 $M(x_0,y_0)$。因为圆心在双曲线上，所以满足： $\frac{x_0^2}{9}-\frac{y_0^2}{16}=1⟹y_0^2=\frac{16}{9}{x}_0^2-16\text{(1)}$

由于圆同时穿过顶点 $A$ 和焦点 $F$，根据圆的定义，圆心 $M$ 到点 $A$ 和点 $F$ 的距离相等（即半径 $R$）： $|MA{|}^2=|MF{|}^2$

应用两点间距离公式展开： $(x_0-3{)}^2+y_0^2=(x_0-5{)}^2+y_0^2$

两边消去 $y_0^2$ 并展开： $x_0^2-6x_0+9=x_0^2-10x_0+25$ $4x_0=16⟹x_0=4$

将 $x_0=4$ 代入①式中，求得 $y_0^2$： $y_0^2=\frac{16}{9}\times 4^2-16=\frac{256}{9}-\frac{144}{9}=\frac{112}{9}$

圆心 $M(x_0,y_0)$ 到双曲线中心 $O(0,0)$ 的距离为 $d=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$。 计算其平方值： $d^2=x_0^2+y_0^2=4^2+\frac{112}{9}=16+\frac{112}{9}=\frac{144+112}{9}=\frac{256}{9}$

因此，距离 $d$ 为： $d=\sqrt{\frac{256}{9}}=\frac{16}{3}$

（注：若选择异侧的顶点与焦点，如同选 $A(-3,0)$ 与 $F(5,0)$，解得 $x_0=-4$，平方后结果一致；同选 $A(3,0)$ 与 $F(-5,0)$ 亦同理。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线基本性质（$c^2=a^2+b^2$）；圆的几何定义运用；两点间距离的代数计算。 核心方法：坐标代数消元法。利用 $|MA|=|MF|$ 这一条件先消去 $y_0$，使多元方程退化为一元一次方程，从而大幅降低计算复杂度。 避坑指南：

• 误认为需要分类讨论多种顶点与焦点的组合。根据对称性，无论选择同侧还是异侧的顶点与焦点，圆心的横坐标绝对值 $|x_0|$ 恒为 $4$，不影响最终对距离平方和 $x_0^2+y_0^2$ 的求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题出自教材中解析几何基本曲线（圆与双曲线）相交位置关系的传统综合题。重点考查几何条件向代数等式的翻译能力。 结论推广：对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若一圆过其同侧的一顶点 $(a,0)$ 和一焦点 $(c,0)$，且圆心 $M(x_0,y_0)$ 在双曲线上，则：

• 由 $(x_0-a{)}^2=(x_0-c{)}^2⟹x_0=\frac{a+c}{2}$。
• 圆心到原点的距离平方满足：$d^2=x_0^2+y_0^2=x_0^2+\frac{b^2}{a^2}{x}_0^2-b^2=\frac{c^2}{a^2}{x}_0^2-b^2$。
• 代入 $x_0=\frac{a+c}{2}$ 展开并利用 $b^2=c^2-a^2$ 化简，可得普适性距离公式：$d=\frac{c(a+c)}{2a}$。 本题中 $a=3,c=5$，直接代入推广公式验证：$d=\frac{5\times (3+5)}{2\times 3}=\frac{40}{6}=\frac{16}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-05 单-椭圆与双曲线的离心率
• 2011-浙江卷文-09 单-椭圆与双曲线渐近线
• 2007-北京文-19 解-圆与双曲线轨迹