1981-全国文-02 解-分式乘方的化简

本题导读

本题考查分式乘方与幂运算的化简。核心在于幂的乘方、积的乘方与同底数幂运算。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(文)） 化简：${\left[-\frac{a^7{b}^2}{\sqrt{3}(a+b{)}^2}\right]}^2\times {\left[\frac{a^2-b^2}{a^2\sqrt{b}}\right]}^4÷{\left[\frac{a^2(b-a)}{2}\right]}^3$.

🔍【思路分析】

破题导航

逐项乘方后约分，注意 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ 与 $(b-a)=-(a-b)$。

✅【答案】

Success

$\frac{8}{3}(b-a)b^2$

✍【详细解析】

Abstract

第一项平方：${\left[-\frac{a^7{b}^2}{\sqrt{3}(a+b{)}^2}\right]}^2=\frac{a^{14}{b}^4}{3(a+b{)}^4}$。 第二项四次方：${\left[\frac{a^2-b^2}{a^2\sqrt{b}}\right]}^4=\frac{(a-b{)}^4(a+b{)}^4}{a^8{b}^2}$。 第三项除以 ${\left[\frac{a^2(b-a)}{2}\right]}^3$ 即乘以 ${\left[\frac{2}{a^2(b-a)}\right]}^3=-\frac{8}{a^6(a-b{)}^3}$（因 $b-a=-(a-b)$）。 三式相乘得 $\frac{a^{14}{b}^4}{3(a+b{)}^4}\cdot \frac{(a-b{)}^4(a+b{)}^4}{a^8{b}^2}\cdot \left(-\frac{8}{a^6(a-b{)}^3}\right)=-\frac{8b^2(a-b)}{3}=\frac{8b^2(b-a)}{3}=\frac{8}{3}(b-a)b^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式乘方的化简

核心方法：幂的运算法则

避坑指南：${\left(\frac{u}{v}\right)}^n=\frac{u^n}{v^n}$，$(a^m{)}^n=a^{mn}$，逐步化简

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式与幂的化简

结论推广：幂的乘方与积的乘方

方法推广：指数运算法则

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1987-上海-12 填-指数式的对数运算
• 1985-上海文-05 填-指数方程