1977-山西-01 解-代数式的化简

本题导读

本题考查代数式的化简。核心在于根式有理化、平方差公式与因式分解的综合运用。

📌【题干】

Question

（1977年山西卷） 化简下列各题. (1)$\frac{1}{\sqrt{2}+1}-\frac{1}{\sqrt{2}-1}$；

(2)$\frac{(a^2-b^2{)}^3}{a^3+b^3}÷\frac{(b+a{)}^2}{a^2-ab+b^2}\times \frac{1}{(b-a{)}^3}$；

(3)$\frac{2\lg 6-\lg 3}{1+\frac{1}{2}\lg 0.36+\frac{1}{3}\lg 8}$；

(4)$\frac{x^4+x^2+1}{x^3-1}+\frac{x(x-2)-2(x-2)}{x^2-3x+2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

各小问分别用有理化、平方差、换底、因式分解化简。

✅【答案】

Success

(1)$-2$；(2)$-1$；(3)$1$；(4)$x+1$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$\frac{1}{\sqrt{2}+1}-\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{(\sqrt{2}-1)-(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=-2$。 (2)原式 $=\frac{(a+b{)}^3(a-b{)}^3}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}\cdot \frac{a^2-ab+b^2}{(a+b{)}^2}\cdot \frac{1}{-(a-b{)}^3}=-1$。 (3)原式 $=\frac{\lg \frac{36}{3}}{\lg 10+\lg 0.6+\lg 2}=\frac{\lg 12}{\lg (10\times 0.6\times 2)}=\frac{\lg 12}{\lg 12}=1$。 (4)原式 $=\frac{(x^2+1{)}^2-x^2}{(x-1)(x^2+x+1)}+\frac{(x-2{)}^2}{(x-2)(x-1)}=\frac{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}+\frac{x-2}{x-1}=\frac{x^2-x+1}{x-1}+\frac{x-2}{x-1}=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：代数式的化简

核心方法：通分与因式分解

避坑指南：根式分母有理化、平方差、因式分解逐题化简

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：代数化简

结论推广：四小问分别为 $-2,-1,1,x+1$

方法推广：根式与分式化简

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1980-全国文-01 解-复数的除法化简
• 1981-全国文-02 解-分式乘方的化简