1977-重庆-07 解-三角形高线与面积

本题导读

本题考查解析法解三角形。核心在于高线用垂直斜率、高长用点到直线距离，面积另可用行列式。

📌【题干】

Question

（1977年重庆卷） 顺次连接 $A(-2,4)$，$B(2,2)$，$C(4,0)$ 得 $△ABC$，写出 $BC$ 边上的高所在的直线方程，并计算 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

$BC$ 斜率 $-1$，高线斜率 $1$ 过 $A$ 得 $y=x+6$；$h=\frac{|4-2-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$；$|BC|=2\sqrt{2}$；面积 $\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=2$。

✅【答案】

Success

$BC$ 边上的高所在直线方程为 $y=x+6$；$△ABC$ 的面积为2（面积单位）

✍【详细解析】

Abstract

直线 $BC$ 的方程为 $\frac{y-2}{x-2}=\frac{0-2}{4-2}$，即 $y+x-4=0$，斜率为 $-1$。$BC$ 边上的高过 $A(-2,4)$ 点，斜率应为 $1$，因此高所在直线方程为 $y-4=x+2$，即 $y=x+6$。$BC$ 边上的高 $h$ 等于 $A$ 点到直线 $BC$ 的距离：$h=\frac{|4+(-2)-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。而 $|BC|=\sqrt{(2-4{)}^2+(2-0{)}^2}=2\sqrt{2}$。所以 $△ABC$ 的面积 $=\frac{1}{2}h\cdot |BC|=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=2$。（注：面积也可用顶点行列式直接求出 $=\frac{1}{2}|0+8+8-0-16+4|=2$。）答：$BC$ 边上的高所在的直线方程为 $y=x+6$；$△ABC$ 的面积为2（面积单位）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形高线与面积

核心方法：点到直线距离

避坑指南：$h=\frac{|4-2-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$；面积行列式亦可

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解析几何

结论推广：高线 $y=x+6$；面积2

方法推广：高=点到直线距离

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1977-湖北-03 解-垂直直线与点线距离
• 1977-广西百色理-05 解-直线方程四连