1977-湖北-03 解-垂直直线与点线距离

本题导读

本题考查直线方程与距离。核心在于 $L_1$ 斜率 $-1$，垂直直线斜率为 $1$；距离用公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

📌【题干】

Question

（1977年湖北卷） 已知直线 $L_1$ 方程为 $x+y-1=0$ 和点 $A(-3,0)$. (1)求与直线 $L_1$ 垂直且通过 $A$ 的直线方程；

(2)求点 $A$ 到直线 $L_1$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$k_1=-1$，垂直斜率 $1$，点斜式 $y=x+3$；(2)$d=\frac{|-3+0-1|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

(1)$x-y+3=0$(2)$d=2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)直线 $L_1$ 的斜率为 $-1$，因此和 $L_1$ 垂直的直线的斜率为 $1$。根据点斜式，所求的直线方程为 $\frac{y-0}{x+3}=1$，或者写成 $x-y+3=0$。 (2)点 $A$ 到直线 $L_1$ 的距离 $d=\frac{|-3+0-1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：垂直直线与点线距离

核心方法：垂直斜率负倒数+距离公式

避坑指南：$k_1=-1$ 则 $k=1$；$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线

结论推广：$x-y+3=0$；$d=2\sqrt{2}$

方法推广：垂直斜率取负倒数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1977-山东A-04 解-点斜式直线方程