1977-广西百色理-05 解-直线方程四连

本题导读

本题考查直线方程四连。核心在于两点定 $k,b$，平行线斜率不变只移截距。

📌【题干】

Question

（1977年广西百色卷(理)） 已知直线过 $(3,1)$ 和 $(-6,4)$ 两点.(1)求出这直线方程；(2)求它的斜率和 $y$ 轴上的截距；(3)这函数是上升或下降；(4)求过 $(0,-5)$ 和这直线平行的直线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

两点代入 $y=kx+b$ 解方程组；$k$ 的正负定升降；平行线 $k$ 相同、截距取 $-5$。

✅【答案】

Success

(1)$x+3y-2=0$(2)斜率 $-\frac{1}{3}$，$y$ 轴截距 $2$(3)下降(4)$x+3y+15=0$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设过 $(3,1)$ 和 $(-6,4)$ 两点的直线方程为 $y=kx+b$，则 $1=3k+b$，$4=-6k+b$。解得 $k=-\frac{1}{3}$，$b=2$。故直线方程是 $y=-\frac{1}{3}x+2$，即 $x+3y-2=0$。(2)斜率是 $-\frac{1}{3}$，$y$ 轴上截距是 $2$。(3)因 $k<0$，故这函数是下降的。(4)平行直线斜率相等，$y$ 轴截距是 $-5$，所以过 $(0,-5)$ 的平行直线方程是 $y=-\frac{1}{3}x-5$，即 $x+3y+15=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线方程四连

核心方法：待定系数+平移斜率

避坑指南：$k=-\frac{1}{3}$、$b=2$；平行线斜率不变只移截距

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线系

结论推广：$x+3y-2=0$；平行线 $x+3y+15=0$

方法推广：平行直线系斜率相同

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 1977-山东B-04 解-两点式直线方程
• 1977-福建文-04 解-抛物线与圆切线