1977-云南-07 解-海伦公式求三边

本题导读

本题考查海伦公式求边长。核心在于设三边为 $4x,5x,6x$，代入海伦公式反解比例因子 $x$。

📌【题干】

Question

（1977年云南卷） 一个三角形三边的比为 $4:5:6$，面积为 $27\sqrt{7}$ cm²，求三边之长.

🔍【思路分析】

破题导航

设三边 $a=4x,b=5x,c=6x$，半周长 $s=\frac{15}{2}x$；由 $\Delta =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ 得 $\frac{15}{4}\sqrt{7}{x}^2=27\sqrt{7}$。

✅【答案】

Success

$\frac{24}{5}\sqrt{5}$ cm、$6\sqrt{5}$ cm、$\frac{36}{5}\sqrt{5}$ cm

✍【详细解析】

Abstract

设三边分别为 $a=4x$，$b=5x$，$c=6x$（cm），半周长 $s=\frac{4x+5x+6x}{2}=\frac{15}{2}x$，则 $s-a=\frac{7x}{2}$，$s-b=\frac{5x}{2}$，$s-c=\frac{3x}{2}$。由海伦公式 $\Delta =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，得 $\sqrt{\frac{15x}{2}\cdot \frac{7x}{2}\cdot \frac{5x}{2}\cdot \frac{3x}{2}}=27\sqrt{7}$，即 $\frac{15}{4}\sqrt{7}{x}^2=27\sqrt{7}$，所以 $x^2=\frac{108}{15}=\frac{36}{5}$，$x=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。故 $a=\frac{24\sqrt{5}}{5}$，$b=6\sqrt{5}$，$c=\frac{36\sqrt{5}}{5}$。答：三边之长分别为 $\frac{24}{5}\sqrt{5}$ cm、$6\sqrt{5}$ cm、$\frac{36}{5}\sqrt{5}$ cm。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：海伦公式求三边

核心方法：设三边为 4x、5x、6x，用海伦公式反解比例因子 x

避坑指南：半周长 s 与 s-a、s-b、s-c 的代换要仔细；结果带根号不可丢失。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于海伦公式（三斜求积术），是已知面积与三边比求边长的典型题。

结论推广：海伦公式 Δ=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 与三边成比例可联立反解比例因子。

方法推广：三边成比例先设 4x、5x、6x，把面积方程化为 x 的方程是通法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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