1977-福建文-06 解-正弦定理测量

本题导读

本题考查正弦定理在障碍物测量中的应用。核心在于设 $\theta =\angle BAP$，在两个三角形中分别列正弦定理，联立消元求 $\tan \theta$，最后回代算 $AP$。

📌【题干】

Question

（1977年福建卷(文)） 某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点 $A$ 和 $P$ 之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点 $B$ 和 $C$（如图），测得 $AB=AC=50$ m，$\angle BAC=60^{\circ }$，$\angle ABP=120^{\circ }$，$\angle ACP=135^{\circ }$，求 $A$ 和 $P$ 之间的距离.（答案可用最简根式表示）

🔍【思路分析】

破题导航

设 $\theta =\angle BAP$，则 $\angle APB=60^{\circ }-\theta$、$\angle APC=\theta -15^{\circ }$；两三角形正弦定理联立得 $\sqrt{3}\sin (\theta -15^{\circ })=\sqrt{2}\sin (60^{\circ }-\theta )$，展开解出 $\tan \theta$，回代 $AP=\frac{50\sin 120^{\circ }}{\sin (60^{\circ }-\theta )}$。

✅【答案】

Success

$AP=25\sqrt{10+4\sqrt{3}}$ m

✍【详细解析】

Abstract

设 $\theta =\angle BAP$。由于 $\angle BAC=60^{\circ }$，有 $\angle CAP=60^{\circ }-\theta$。在 $△ABP$ 中，$\angle APB=180^{\circ }-120^{\circ }-\theta =60^{\circ }-\theta$；在 $△ACP$ 中，$\angle APC=180^{\circ }-135^{\circ }-(60^{\circ }-\theta )=\theta -15^{\circ }$。由正弦定理，在两个三角形中分别有 $\frac{AP}{\sin 120^{\circ }}=\frac{50}{\sin (60^{\circ }-\theta )}$，$\frac{AP}{\sin 135^{\circ }}=\frac{50}{\sin (\theta -15^{\circ })}$，所以 $\frac{25\sqrt{3}}{\sin (60^{\circ }-\theta )}=\frac{25\sqrt{2}}{\sin (\theta -15^{\circ })}$，即 $\sqrt{3}\sin (\theta -15^{\circ })=\sqrt{2}\sin (60^{\circ }-\theta )$。由和差角公式并代入 $\cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，$\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，移项合并同类项（利用 $\sqrt{3}\sqrt{6}=3\sqrt{2}$），得 $\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\sin \theta =\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\cos \theta$。因为 $15^{\circ }<\theta <60^{\circ }$，$\cos \theta >0$，从而 $\tan \theta =\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{5\sqrt{2}+\sqrt{6}}=\frac{3+\sqrt{3}}{5+\sqrt{3}}=\frac{6+\sqrt{3}}{11}$。再由 $\sin (60^{\circ }-\theta )=\frac{\sqrt{3}\cos \theta -\sin \theta }{2}$，令 $t=\tan \theta =\frac{6+\sqrt{3}}{11}$，则 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{1+t^2}$，故 ${\sin }^2(60^{\circ }-\theta )=\frac{(\sqrt{3}-t{)}^2}{4(1+t^2)}=\frac{3}{10+4\sqrt{3}}$。因此 $A{P}^2=\frac{(25\sqrt{3}{)}^2}{{\sin }^2(60^{\circ }-\theta )}=625(10+4\sqrt{3})$，从而 $AP=25\sqrt{10+4\sqrt{3}}$ m。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理测量

核心方法：双三角形正弦定理

避坑指南：设 $\theta =\angle BAP$，两三角形各列正弦定理联立消元

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：距离

结论推广：$AP=25\sqrt{10+4\sqrt{3}}$ m

方法推广：设角消元

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-18 解-余弦定理解三角形方位角
• 1977-吉林-10 解-正弦定理测量