1977-湖南-03 解-韦达定理求参数

本题导读

本题考查含参二次方程。核心在于零根代入、两根和与两根积分别对号韦达定理。

📌【题干】

Question

（1977年湖南卷） 已知方程 $a{x}^2-(2a+1)x+(a+1)=0$.(1)有一个根为0；(2)两个根的和为0；(3)两个根的乘积为2.分别求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)代入 $x=0$；(2)$x_1+x_2=\frac{2a+1}{a}=0$；(3)$x_1{x}_2=\frac{a+1}{a}=2$。

✅【答案】

Success

(1)$a=-1$(2)$a=-\frac{1}{2}$(3)$a=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1)因为0是方程的一个根，把 $x=0$ 代入方程得 $a+1=0$，所以 $a=-1$。 (2)设两根为 $x_1,x_2$。由韦达定理 $x_1+x_2=\frac{2a+1}{a}=0$，所以 $2a+1=0$，$a=-\frac{1}{2}$。 (3)由韦达定理 $x_1{x}_2=\frac{a+1}{a}=2$，所以 $a+1=2a$，$a=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：韦达定理求参数

核心方法：韦达定理三问连环

避坑指南：两根和、积都以 $a$ 为分母，$a\ne 0$ 前提在

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程

结论推广：$a=-1$、$a=-\frac{1}{2}$、$a=1$

方法推广：零根代入、韦达两路各管一问

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1977-山东A-08 解-判别式与二次方程根
• 1977-吉林-04 解-判别式讨论