1977-江西-16 解-判别式与平行四边形最值

本题导读

本题考查一元二次方程判别式。核心在于由等根得 $\Delta =0$ 解出 $\cos \alpha$，再把面积表为 $x(6-x)\sin \alpha$ 用配方法求最大值。

📌【题干】

Question

（1977年江西卷） 若方程 $5x^2-10x\cos \alpha +7\cos \alpha +6=0$ 的两个根相等，试求两邻边和为 $6$，且夹角为 $\alpha$ 的平行四边形的最大面积.

🔍【思路分析】

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等根 $\Rightarrow \Delta =0$：$100{\cos }^2\alpha -20(7\cos \alpha +6)=0$，因式分解取 $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$；$\alpha \in (0,\pi )$ 得 $\sin \alpha =\frac{4}{5}$；$S=x(6-x)\cdot \frac{4}{5}$ 配方得最大值。

✅【答案】

Success

最大面积是 $\frac{36}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

设平行四边形一边长为 $x$，则它的邻边长为 $6-x$。又已知其夹角为 $\alpha$，故平行四边形的面积可表示为 $S=x(6-x)\sin \alpha$。 又已知方程 $5x^2-10x\cos \alpha +7\cos \alpha +6=0$ 的两根相等，因此它的判别式为零，即 $(-10\cos \alpha {)}^2-20(7\cos \alpha +6)=0$。整理得 $5{\cos }^2\alpha -7\cos \alpha -6=0$，即 $(5\cos \alpha +3)(\cos \alpha -2)=0$。所以 $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$ 或 $\cos \alpha =2$（舍去）。 $\alpha$ 是平行四边形夹角，必定 $0<\alpha <\pi$，故 $\sin \alpha$ 是正值。于是 $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(-\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$。 把上述结果代入面积表达式，得 $S=x(6-x)\cdot \frac{4}{5}=-\frac{4}{5}{x}^2+\frac{24}{5}x=-\frac{4}{5}(x-3{)}^2+\frac{36}{5}$。 所以当 $x=3$ 时，$S$ 取极大值 $\frac{36}{5}$。答：两邻边和为 $6$，夹角为 $\alpha$ 的平行四边形的最大面积是 $\frac{36}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：判别式与平行四边形最值

核心方法：判别式零+二次函数最值

避坑指南：等根 $\Rightarrow \Delta =0$ 解出 $\cos \alpha$；面积配方法求最大

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：最值

结论推广：$\frac{36}{5}$

方法推广：配方法定顶点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-04 解-判别式讨论
• 1977-辽宁-10 解-判别式与正切