1977-河南-08 解-产量与消耗二次函数

本题导读

本题考查二次函数建模。核心在于由 $f(-1)=f(3)=2$ 两组条件各解出 $f_1$、$f_2$ 的系数，配方读最值，再画略图（一开口向下极大 $3$、一开口向上极小 $1$，同在 $x=1$ 取到）。

📌【题干】

Question

（1977年河南卷） 某工厂科研小组，对一项生产工艺过程总结出产量指标函数和消耗函数为：$f_1(x)=a_1{x}^2+\frac{1}{2}x+c$ 和 $f_2(x)=a_2{x}^2+bx+\frac{5}{4}$.且知 $f_1(-1)=f_2(-1)=f_1(3)=f_2(3)=2$. (1)分别求出产量指标函数 $f_1(x)$ 和消耗函数 $f_2(x)$ 的具体表达式；

(2)问因素 $x$ 取何值时，$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 有最大值或最小值？最大值或最小值各是多少？

(3)画出所求出函数的略图.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$f_1(-1)=f_1(3)=2$ 解出 $a_1=-\frac{1}{4}$，$c=\frac{11}{4}$；$f_2(-1)=f_2(3)=2$ 解出 $a_2=\frac{1}{4}$，$b=-\frac{1}{2}$。(2)配方 $f_1=-\frac{1}{4}(x-1{)}^2+3$ 极大 $3$，$f_2=\frac{1}{4}(x-1{)}^2+1$ 极小 $1$。(3)画两条抛物线略图。

✅【答案】

Success

(1)$f_1(x)=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{11}{4}$，$f_2(x)=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$(2)$x=1$ 时 $f_1$ 有极大值 $3$，$f_2$ 有极小值 $1$(3)略图见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)对指标函数 $f_1(x)$ 来说，由 $f_1(-1)=f_1(3)=2$，可得 $a_1-\frac{1}{2}+c=2$，$9a_1+\frac{3}{2}+c=2$。解这个方程组，得 $a_1=-\frac{1}{4}$，$c=\frac{11}{4}$。所以 $f_1(x)=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{11}{4}$。 对消耗函数 $f_2(x)$ 来说，由 $f_2(-1)=f_2(3)=2$，可得 $a_2-b+\frac{5}{4}=2$，$9a_2+3b+\frac{5}{4}=2$。解这个方程组，得 $a_2=\frac{1}{4}$，$b=-\frac{1}{2}$。所以 $f_2(x)=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$。 (2)因为 $f_1(x)=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{11}{4}=-\frac{1}{4}(x-1{)}^2+3$，$f_2(x)=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}=\frac{1}{4}(x-1{)}^2+1$， 所以指标函数 $f_1(x)$ 在 $x=1$ 时有极大值 $3$，消耗函数 $f_2(x)$ 在 $x=1$ 时有极小值 $1$。 (3)略图如下（两抛物线均以 $x=1$ 为对称轴，$f_1$ 开口向下过 $(-1,2)$、$(3,2)$，顶点 $(1,3)$；$f_2$ 开口向上，顶点 $(1,1)$）：

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：产量与消耗二次函数

核心方法：待定系数+配顶点

避坑指南：两组 $f(-1)=f(3)=2$ 各解 $a,c$；配方读最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：最值

结论推广：$f_1$ 极大 $3$，$f_2$ 极小 $1$（$x=1$）

方法推广：开口方向定极大极小

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-辽宁-06 解-二次函数最值
• 1977-江西-16 解-判别式与平行四边形最值