1977-江西-06 填-复数的模与三角形式

本题导读

本题考查复数的模、辐角，以及复数的三角形式。

📌【题干】

Question

（1977年江西卷） $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 的模数是＿＿＿＿，辐角是＿＿＿＿，三角函数式是＿＿＿＿.

🔍【思路分析】

破题导航

$r=\sqrt{x^2+y^2}$；辐角看实部、虚部比例 $\tan \theta =\frac{y}{x}$；代三角形式。

✅【答案】

Success

模数 $1$；辐角 $\frac{\pi }{3}$；三角函数式 $\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

模数 $r=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$。实部 $\frac{1}{2}>0$、虚部 $\frac{\sqrt{3}}{2}>0$，$\tan \theta =\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$，故辐角主值 $\theta =\frac{\pi }{3}$。三角函数式为 $\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模与三角形式

核心方法：模与辐角

避坑指南：$r=\sqrt{x^2+y^2}$，辐角看实虚部比例

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形式

结论推广：模 $1$，辐角 $\frac{\pi }{3}$

方法推广：先模后角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-03 单-复数的三角形式
• 1987-全国文-04 单-复数的三角形式与辐角