1993-旧高考理-28 解-复数的三角形式与辐角条件

本题导读

本题考查复数的三角形式与辐角条件。核心在于把 $\omega$ 化为单一辐角表达式，由模与辐角条件联立定 $\theta$，并逐根检验分母非零。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 设复数 $z=\cos \theta +\text{i}\sin \theta$（$0<\theta <\pi$），$\omega =\frac{1-(\overline{z}{)}^4}{1+z^4}$，已知 $|\omega |=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\arg \omega =\frac{\pi }{2}$，求 $\theta$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $z^4={\text{e}}^{4\text{i}\theta }$，${\overline{z}}^4={\text{e}}^{-4\text{i}\theta }$，化简 $\omega$。
2. 由模条件得 $|\tan 2\theta |=\frac{\sqrt{3}}{3}$，由辐角条件定相位。
3. 对每个候选 $\theta$ 检验分母 $1+z^4\ne 0$。

✅【答案】

Success

按原题面条件不存在满足条件的 $\theta$（条件彼此不相容）

✍【详细解析】

Abstract

由 $z={\text{e}}^{\text{i}\theta }$ 得 $z^4={\text{e}}^{4\text{i}\theta }$、${\overline{z}}^4={\text{e}}^{-4\text{i}\theta }$。 $\omega =\frac{1-{\text{e}}^{-4\text{i}\theta }}{1+{\text{e}}^{4\text{i}\theta }}=\frac{2\text{i}{\text{e}}^{-2\text{i}\theta }\sin 2\theta }{2{\text{e}}^{2\text{i}\theta }\cos 2\theta }=\text{i}{\text{e}}^{-4\text{i}\theta }\tan 2\theta =\tan 2\theta \left[\sin 4\theta +\text{i}\cos 4\theta \right]$。 由 $|\omega |=\frac{\sqrt{3}}{3}>0$ 知 $\tan 2\theta \ne 0$。又 $\arg \omega =\frac{\pi }{2}$ 意味着 $\omega$ 为正纯虚数，其实部为零，故 $\tan 2\theta \sin 4\theta =0$，即 $\sin 4\theta =0$。 于是 $\theta =\frac{k\pi }{4}$。结合 $0<\theta <\pi$，只需讨论 $k=1,2,3$：当 $k=1,3$ 时 $\cos 2\theta =0$，分母 $1+z^4=0$；当 $k=2$ 时 $\tan 2\theta =0$，从而 $\omega =0$，与 $|\omega |=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 矛盾。 所以按原题面条件，不存在满足条件的 $\theta$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的三角形式与辐角条件 核心方法：$\omega =\text{i}{\text{e}}^{-4\text{i}\theta }\tan 2\theta$，按原卷条件 $\arg \omega =\frac{\pi }{2}$ 推出条件彼此不相容（无解） 避坑指南：模与辐角条件分别转化为 $\tan 2\theta$ 与相位约束，再逐根检验分母非零

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于复数三角形式与辐角主值 结论推广：$\omega$ 的模与辐角条件等价于 $\tan 2\theta$ 与相位的联立约束 方法推广：模定绝对值、辐角定相位，逐根回代检验分母

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-11 单-复数的辐角
• 1986-广东理-05 单-复数的辐角
• 1977-江西-06 填-复数的模与三角形式