1998-全国卷理-08 单-复数的立方根

本题导读

本题考查复数的立方根，以及开方运算与代数方程。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 复数 $-\text{i}$ 的一个立方根是 $\text{i}$，它的另外两个立方根是()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}\pm \frac{1}{2}\text{i}$　　　B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}\pm \frac{1}{2}\text{i}$　　　C. $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$　　　D. $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立代数方程：设 $-\text{i}$ 的立方根为 $x$，根据定义可得方程 $x^3=-\text{i}$，即 $x^3+\text{i}=0$。
2. 因式分解方程：已知 $\text{i}$ 是方程的一个根，则有 ${\text{i}}^3=-\text{i}⟹x^3-{\text{i}}^3=0$。利用立方差公式进行因式分解，提取出因式 $(x-\text{i})$。
3. 求解剩余两根：对剩下的二次项式进行配方或使用求根公式，计算出其余两个复数解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设所求的立方根为 $x$，则根据题意有： $x^3=-\text{i}⟹x^3+\text{i}=0$

因为 ${\text{i}}^3=-\text{i}$，原方程可以写为： $x^3-{\text{i}}^3=0$

利用代数中的立方差公式 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ 展开得： $(x-\text{i})(x^2+\text{i}x+{\text{i}}^2)=0$ $(x-\text{i})(x^2+\text{i}x-1)=0$

由于已知其中一个根为 $x=\text{i}$，则另外两个立方根是方程 $x^2+\text{i}x-1=0$ 的两个根。 使用一元二次方程的求根公式求解： $x=\frac{-\text{i}\pm \sqrt{{\text{i}}^2-4\times 1\times (-1)}}{2\times 1}=\frac{-\text{i}\pm \sqrt{-1+4}}{2}=\frac{-\text{i}\pm \sqrt{3}}{2}$

将其拆分为实部与虚部的标准形式： $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\text{i}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的幂运算与基本等式（如 ${\text{i}}^2=-1,{\text{i}}^3=-\text{i}$），一元三次复方程的因式分解。 核心方法：方程法。利用复数立方根与方程根的一致性，将几何或代数性质转化为方程求解。 避坑指南：

• 实部虚部位置颠倒：求根公式算出的结果是 $\frac{\pm \sqrt{3}-\text{i}}{2}$，其实部是 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$，虚部是 $-\frac{1}{2}$。选项 C 的实虚部与 D 正好相反，极易由于粗心而误选 C。
• 验证法的合理运用：作为单选题，可直接利用排除法。因为三个立方根在复平面上对应的点构成以原点为中心的圆内接正三角形，它们的和必为 0。已知第一个根为 $\text{i}$，则另两根之和必须为 $-\text{i}$。
• A 选项两根之和为：$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i}\right)+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\text{i}\right)=\sqrt{3}\ne -\text{i}$；
• B 选项两根之和为：$-\sqrt{3}\ne -\text{i}$；
• C 选项两根之和为：$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i}\right)+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i}\right)=\text{i}\ne -\text{i}$；
• D 选项两根之和为：$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\text{i}\right)+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\text{i}\right)=-\text{i}$。可直接锁定 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查复数单位根（Roots of unity）的几何与代数性质。在复平面内，任一非零复数 $z$ 的 $n$ 个 $n$ 次方根均均匀分布在半径为 $\sqrt[n]{|z|}$ 的圆周上，相邻两根的辐角差为 $\frac{2\pi }{n}$。 结论推广：若复数 $z_0$ 的一个三次方根为 $z_1$，则它的另外两个三次方根可由 $z_1$ 乘以 $1$ 的两个虚立方根 $\omega$ 和 ${\omega }^2$ 得到，其中 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$，${\omega }^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$。 本题中另两根为： $z_2=\text{i}\cdot \omega =\text{i}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\text{i}$ $z_3=\text{i}\cdot {\omega }^2=\text{i}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\text{i}$ 组合即得 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\text{i}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1962-全国-02 解-复数幂的实部
• 1963-全国-02 解-复数模数辐角与旋转
• 1977-江西-06 填-复数的模与三角形式