1977-新疆理-08 解-余弦定理求最大角

本题导读

本题考查余弦定理求最大角。核心在于最长边 √61 所对角，用余弦定理求 cosα。

📌【题干】

Question

（1977年新疆卷(理)） 三角形的三边长分别是 4 cm，5 cm，$\sqrt{61}$ cm，求这个三角形内最大角的度数.

🔍【思路分析】

破题导航

最大角为 √61 边所对角 α，$\cos \alpha =\frac{4^2+5^2-61}{2\cdot 4\cdot 5}=-\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

$120^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

三角形内最长边所对角最大，故 $\sqrt{61}$ 边所对角 α 最大。由余弦定理 $\cos \alpha =\frac{4^2+5^2-(\sqrt{61}{)}^2}{2\times 4\times 5}=\frac{16+25-61}{40}=-\frac{1}{2}$，故 $\alpha =120^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理求最大角

核心方法：余弦定理求最长边对角

避坑指南：√61 边所对角 α，cosα=(-61+16+25)/40=-1/2，α=120°。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于余弦定理，考查最大角判定。

结论推广：三角形中大边对大角，最长边对角用余弦定理。

方法推广：cosα=-1/2 对应 α=120°。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 1977-陕西-09 解-余弦定理求边
• 1977-北京文-08 解-余弦定理测距