1977-广西百色理-06 解-相交弦定理证明

本题导读

本题考查相交弦定理。核心在于连辅助弦造相似三角形，再由垂径特例得平方关系。

📌【题干】

Question

（1977年广西百色卷(理)） 已知圆 $O$ 中两弦 $AB$，$CD$ 相交于 $E$.(1)证明 $AE\cdot BE=CE\cdot DE$；(2)当 $CD$ 为直径 $2R$，$AB\perp CD$ 时，证明 $B{E}^2=CE(2R-CE)$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)连 $AC$、$BD$，同弧圆周角相等得 $△AEC\sim △DEB$；(2)垂径定理 $AE=BE$，$DE=2R-CE$ 代入。

✅【答案】

Success

(1)$AE\cdot BE=CE\cdot DE$(2)$B{E}^2=CE(2R-CE)$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明：连结 $AC$ 和 $BD$。则 $\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle C$（同弧圆周角相等），所以 $△AEC\sim △DEB$。所以 $AE:DE=CE:BE$，即 $AE\cdot BE=CE\cdot DE$。(2)证明：因为 $CD$ 为直径 $2R$，$AB\perp CD$，由垂径定理 $AE=BE$，且 $DE=2R-CE$。代入 $AE\cdot BE=CE\cdot DE$ 得 $B{E}^2=CE(2R-CE)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相交弦定理证明

核心方法：相似比乘积

避坑指南：连 $AC$、$BD$ 后 $△AEC\sim △DEB$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆幂定理

结论推广：$B{E}^2=CE(2R-CE)$

方法推广：相交弦定理是圆幂定理特例

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 1977-广西百色文-06 解-高线圆周角等角
• 2001-大纲文-19 解-圆内接四边形面积