1977-广西理-07 解-中点四边形对角线

本题导读

本题考查中点四边形。核心在于中位线定理两次：$EN$ 与 $MF$ 平行且等于 $AD$ 的一半。

📌【题干】

Question

（1977年广西卷(理)） 在四边形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是对角线 $AC$，$BD$ 的中点，$M$，$N$ 分别是 $AB$，$CD$ 的中点，求证 $EF$ 与 $MN$ 互相平分.

🔍【思路分析】

破题导航

连 $EM$、$EN$、$FM$、$FN$；$△ACD$ 中 $EN\parallel AD$ 且 $EN=\frac{1}{2}AD$；$△ABD$ 中 $MF\parallel AD$ 且 $MF=\frac{1}{2}AD$。

✅【答案】

Success

$MN$ 与 $EF$ 互相平分（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

证明：连接 $EM$，$EN$，$FM$，$FN$。在 $△ACD$ 中，因为 $E$，$N$ 分别是 $AC$，$CD$ 的中点，所以 $EN\parallel AD$，且 $EN=\frac{1}{2}AD$。在 $△ABD$ 中，因为 $M$，$F$ 分别是 $AB$ 和 $BD$ 的中点，所以 $MF\parallel AD$，且 $MF=\frac{1}{2}AD$。所以 $MF\parallel EN$，且 $MF=EN$。故四边形 $MFNE$ 为平行四边形。又因 $MN$，$EF$ 是它的对角线，所以 $MN$ 与 $EF$ 互相平分。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：中点四边形对角线

核心方法：中位线造平行四边形

避坑指南：$EN\parallel AD$ 且 $MF\parallel AD$、各为 $AD$ 之半

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：中点四边形

结论推广：$MN$ 与 $EF$ 互相平分

方法推广：中位线定理两次

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-广西百色理-06 解-相交弦定理证明
• 2001-大纲文-19 解-圆内接四边形面积