1977-广东-08 解-含参线性方程组

本题导读

本题考查含参线性方程组解的判定。核心在于系数行列式 $10(2-a)$：$a\ne 2$ 唯一解，$a=2$ 无解。

📌【题干】

Question

（1977年广东卷） 方程组 $x_1+3x_2+2x_3-x_4=1$，$x_2-2x_3+x_4=-1$，$2x_1+x_3+2x_4=0$，$2x_2+a{x}_3-2x_4=1$ 中，(1)当 $a$ 取什么值时，该方程组有解？（有多少组解？）(2)又当 $a$ 取什么值时，方程组无解？

🔍【思路分析】

破题导航

解法一：逐次消元至 $(5a-10)x_3=-1$，看 $a$ 是否为 2。解法二：算系数行列式 $10(2-a)$，非零唯一解、为零且非齐次无解。

✅【答案】

Success

(1)当 $a\ne 2$ 时方程组有唯一一组解(2)当 $a=2$ 时方程组无解

✍【详细解析】

Abstract

解法一：将原方程组四式依次记为第一式至第四式。(1)由第一式乘2减第三式，消去 $x_1$，与第二、四式联立；再用消元把三式化成两个：$-15x_3+10x_4=-8$ 与 $-(a+4)x_3+4x_4=-3$。由第一式乘2减第二式乘5，得 $(5a-10)x_3=-1$。因此当 $a\ne 2$ 时，可解得 $x_3=-\frac{1}{5(a-2)}$，然后可分别唯一地求得 $x_1,x_2,x_4$ 的值，原方程组有唯一一组解。(2)当 $a=2$ 时，$(5a-10)x_3=-1$ 变为 $0=-1$，矛盾，原方程组无解。解法二：方程组的系数行列式 $|\Delta |=10(2-a)$。(1)当 $a\ne 2$ 时，$|\Delta |\ne 0$，因此原方程组有唯一一组解。(2)当 $a=2$ 时，$|\Delta |=0$ 而方程组又非齐次，因此原方程组无解。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参线性方程组

核心方法：消元或行列式

避坑指南：系数行列式 $10(2-a)$；$a\ne 2$ 唯一解、$a=2$ 无解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性方程组

结论推广：$a\ne 2$ 有唯一解；$a=2$ 无解

方法推广：行列式为零且非齐次则无解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-18 单-方程组解的判定
• 1980-全国文-02 解-三元一次方程组的解法