1977-青海-11 解-齐次线性方程组

本题导读

本题考查齐次线性方程组（参考题，大学内容）。核心在于有非零解 ⟺ 系数行列式为零。

📌【题干】

Question

（1977年青海卷） 若齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}x+ay+a^{2}z=0\\ ax+a^{2}y+z=0\\ a^{2}x+y+az=0\end{array}$ 有非零解，那么 $a$ 应为何值？

🔍【思路分析】

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系数行列式 $\left|\begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ a& a^2& 1\\ a^2& 1& a\end{array}\right|=0$，展开得 $2a^3-a^6-1=0$。

✅【答案】

Success

$a=1$

✍【详细解析】

Abstract

齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于 0。行列式 $=\left|\begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ a& a^2& 1\\ a^2& 1& a\end{array}\right|=a^3+a^3+a^3-a^6-1-a^3=2a^3-a^6-1=0$，即 $(a^3-1{)}^2=0$，所以 $a=1$。答：当 $a=1$ 时该齐次线性方程组有非零解。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：齐次线性方程组

核心方法：齐次线性方程组有非零解 ⟺ 系数行列式=0

避坑指南：行列式=2a³-a⁶-1=0，得 (a³-1)²=0，a=1。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于齐次线性方程组，考查非零解条件（参考题，大学内容）。

结论推广：齐次线性方程组有非零解 ⟺ 系数行列式为零。

方法推广：行列式展开得 2a³-a⁶-1=0，配方为 (a³-1)²=0。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03_几何与代数主题

类题演练 (Links)

• 1977-广东-08 解-含参线性方程组
• 1977-广西理-10 解-三次根式方程组