1977-广东-04 解-切余互化证恒等

本题导读

本题考查三角恒等式证明。核心在于用 ${\sec }^{2}x-1={\tan }^{2}x$ 或全部化弦通分。

📌【题干】

Question

（1977年广东卷） 证明恒等式：$\left(\frac{1}{\cos x}+1\right)\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)\cot x=\tan x$.

🔍【思路分析】

破题导航

证一：前两因式合成为 $\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1={\tan }^{2}x$，乘 $\cot x$ 得 $\tan x$。证二：全化弦，通分约去。

✅【答案】

Success

恒等式成立（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

【证一】左边 $=\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)\cot x=\left(1+{\tan }^{2}x-1\right)\cot x={\tan }^{2}x\cdot \cot x=\tan x=$ 右边。所以 $\left(\frac{1}{\cos x}+1\right)\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)\cot x=\tan x$。【证二】左边 $=\frac{1+\cos x}{\cos x}\cdot \frac{1-\cos x}{\cos x}\cdot \cot x=\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x=$ 右边。所以原恒等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切余互化证恒等

核心方法：平方关系搭桥

避坑指南：${\sec }^{2}x-1={\tan }^{2}x$；或切化弦通分

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等式

结论推广：恒等式成立（两法）

方法推广：切割互化：平方关系或全弦化

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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