1977-广东-01 解-综合小题三连

本题导读

本题考查有理数混合运算、分式化简与根式化简。核心在于符号处理、因式分解约分与根号内外分清。

📌【题干】

Question

（1977年广东卷） 计算.(1)$(-3{)}^2-{\left(-1\frac{1}{2}\right)}^3\times \frac{2}{9}-6÷\left|-\frac{2}{3}\right|$. (2)$\frac{x^2+2x+1}{x^3-x}\cdot \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x+1}$.

(3)$\frac{\sqrt{20}}{8}-\sqrt{\frac{9}{5}}+\frac{5}{\sqrt{45}}$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$(-1\frac{1}{2}{)}^3=-\frac{27}{8}$，负负得正；(2)分子分解 $(x+1{)}^2$、分母分解 $x(x-1)(x+1)$；(3)通分为 $120$ 分母统一。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{3}{4}$(2)$\frac{2}{x^2-1}$(3)$-\frac{\sqrt{5}}{60}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)原式 $=9+\frac{27}{8}\times \frac{2}{9}-6÷\frac{2}{3}=9+\frac{3}{4}-9=\frac{3}{4}$。 (2)原式 $=\frac{(x+1{)}^2}{x(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x^2-1}$。 (3)原式 $=\frac{2\sqrt{5}}{8}-\frac{3\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{30\sqrt{5}-72\sqrt{5}+40\sqrt{5}}{120}=-\frac{\sqrt{5}}{60}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：综合小题三连

核心方法：三小题分步击破

避坑指南：带分数 $-1\frac{1}{2}$ 别看成 $-\frac{11}{2}$；$\frac{\sqrt{20}}{8}$ 根号只管分子

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：综合小题

结论推广：(1)$\frac{3}{4}$(2)$\frac{2}{x^2-1}$(3)$-\frac{\sqrt{5}}{60}$

方法推广：负负得正先处理符号

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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