1977-安徽理-04 解-幂化简与对数数列

本题导读

本题考查对数恒等式化简与对数数列求和。核心在于偶次根号开绝对值需分类，数列按指数与系数分组求和。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(理)） (1)化简：$\sqrt{5^{2{\log }_5(\lg x)}-2\lg x+1}$.

(2)求下面数列的前 $n$ 项和：$\lg \frac{1}{3}+\lg \frac{10}{3^2}+\lg \frac{100}{3^4}+\lg \frac{1000}{3^8}+\cdots$

🔍【思路分析】

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(1)$5^{2{\log }_5(\lg x)}=(\lg x{)}^2$，原式 $=\sqrt{(\lg x-1{)}^2}=|\lg x-1|$，按 $x\ge 10$ 与 $1<x<10$ 分类（须 $\lg x>0$）；(2)对数按真数拆成两组：指数部分 $0+1+\cdots +(n-1)$，系数部分 $-(1+2+4+\cdots +2^{n-1})\lg 3$。

✅【答案】

Success

(1)$x\ge 10$ 时为 $\lg \frac{x}{10}$；$1<x<10$ 时为 $\lg \frac{10}{x}$(2)$S_n=\frac{n(n-1)}{2}+(1-2^n)\lg 3$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$\sqrt{5^{2{\log }_5(\lg x)}-2\lg x+1}=\sqrt{(\lg x{)}^2-2\lg x+1}=\sqrt{(\lg x-1{)}^2}$，它等于 $\lg x-1=\lg \frac{x}{10}$（当 $x\ge 10$），或 $1-\lg x=\lg \frac{10}{x}$（当 $1<x<10$）。因为 $\lg x$ 本身是对数的真数，要求 $\lg x>0$，即 $x>1$。 (2)设前 $n$ 项和为 $S_n=\lg \frac{1}{3}+\lg \frac{10}{3^2}+\lg \frac{100}{3^4}+\cdots +\lg \frac{10^{n-1}}{3^{2^{n-1}}}$，则 $S_n=(\lg 1+\lg 10+\lg 100+\cdots +\lg 10^{n-1})-(\lg 3+\lg 3^2+\lg 3^4+\cdots +\lg 3^{2^{n-1}})=(0+1+2+\cdots +(n-1))-(\lg 3)(1+2+4+\cdots +2^{n-1})=\frac{n(n-1)}{2}-(2^n-1)\lg 3=\frac{n(n-1)}{2}+(1-2^n)\lg 3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：幂化简与对数数列

核心方法：幂恒等+分组求和

避坑指南：$5^{2{\log }_5(\lg x)}=(\lg x{)}^2$；指数、系数分组各自求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：化简求和

结论推广：按 $x\ge 10$ 与 $1<x<10$ 分类；$S_n=\frac{n(n-1)}{2}+(1-2^n)\lg 3$

方法推广：偶次根号开绝对值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-07 解-对数换底公式
• 2011-重庆卷文-16 解-等比等差分组求和