1977-内蒙古理-08 解-椭圆内接矩形

本题导读

本题考查椭圆方程与内接矩形最值。核心在于由离心率与准线定椭圆，再求内接矩形面积最大值。

📌【题干】

Question

（1977年内蒙古卷(理)） 已知椭圆的中心在原点，长轴和短轴都在坐标轴上，离心率 $e=0.8$，一条准线方程为 $y=-\frac{25}{4}$，求内接于椭圆的最大矩形面积.

🔍【思路分析】

破题导航

由离心率与准线定 $a,c,b$，内接矩形最大面积为 $2\sqrt{2}a\cdot \sqrt{2}b$ 相关。

✅【答案】

Success

$30$

✍【详细解析】

Abstract

准线 $y=-\frac{25}{4}$ 平行于 $x$ 轴，长轴在 $y$ 轴，设 $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$。由 $\frac{c}{a}=0.8$、$-\frac{a^2}{c}=-\frac{25}{4}$，解得 $a=5,c=4$，故 $b=\sqrt{a^2-c^2}=3$，椭圆为 $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$。内接矩形最大面积 $S=2\sqrt{2}a\cdot \sqrt{2}b$ 相关的长宽为 $5\sqrt{2}$、$3\sqrt{2}$，面积 $S=3\sqrt{2}\times 5\sqrt{2}=30$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆内接矩形

核心方法：椭圆内接矩形

避坑指南：由离心率与准线定椭圆，内接矩形最值 $2a\sqrt{2}\cdot b\sqrt{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆矩形

结论推广：面积 $30$

方法推广：椭圆内接矩形最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-14 填-内接矩形最值
• 1985-全国文-08 填-二次函数闭区间最值