1977-陕西-10 解-正方形截圆料

本题导读

本题考查正方形截圆料的几何分析。核心在于两种截法分别求所得正方形边长，比较面积。

📌【题干】

Question

（1977年陕西卷） 在一块边长为 $a$ 的正方形上，切去两边截去一个半径为 $r$ 的圆料（$r\le \frac{(2-\sqrt{2})a}{4}$）.(1)如图1 那样截出一个正方形料，面积多大？(2)如图2 那样截出一个正方形料，面积多大？哪种截法面积较大？

🔍【思路分析】

破题导航

图1：圆心在对角线，$B\prime D=\sqrt{2}a-(\sqrt{2}r+r)$，面积 $\frac{1}{2}(B\prime D{)}^2$；图2：$A\prime B\prime =a-2r$，面积 $(a-2r{)}^2$。

✅【答案】

Success

(1)${\left[a-\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)r\right]}^2$；(2)$(a-2r{)}^2$；图1 截法面积较大

✍【详细解析】

Abstract

(1)如图1，$\odot O$ 与边 $AB$、$BC$ 相切于 $E$、$F$，则 $OEBF$ 为正方形，圆心 $O$ 在对角线 $BD$ 上。$BD=\sqrt{2}a$，$OB=\sqrt{2}r$，故 $B\prime D=BD-BB\prime =\sqrt{2}a-(\sqrt{2}r+r)$。截得正方形面积 $S_1=\frac{1}{2}(B\prime D{)}^2\sin 90^{\circ }=\frac{1}{2}{\left[\sqrt{2}a-(\sqrt{2}r+r)\right]}^2={\left[a-\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)r\right]}^2$。(2)如图2，由全等关系可得 $A\prime B\prime =a-2r$，故面积 $S_2=(a-2r{)}^2$。因为 $\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)r<2r$，所以 ${\left[a-\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)r\right]}^2>(a-2r{)}^2$。故第一种截法（图1）截下的正方形料面积较大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方形截圆料

核心方法：几何法求两种截法所得正方形边长，比较面积

避坑指南：图1 面积 ${\left[a-\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)r\right]}^2$；图2 面积 $(a-2r{)}^2$；图1 较大。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于几何最优化，考查正方形内截圆料的几何分析。

结论推广：“正方形内切去圆角”类问题可分解为几何线段关系。

方法推广：两种截法的线段关系（A′B′=a-2r 等）要逐一推导。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 1977-广西百色理-11 解-弓形内接正方形
• 1977-内蒙古理-08 解-椭圆内接矩形