1977-内蒙古文-02 解-梯形与圆台

本题导读

本题考查梯形的平行线性质与圆台的体积和全面积。核心在于平行线成比例与圆台公式。

📌【题干】

Question

（1977年内蒙古卷(文)） (1)已知梯形 $ABCD$，$AD\parallel BC$，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于 $E$，过 $E$ 作平行于底的直线交 $AB$ 于 $M$、交 $CD$ 于 $N$，求证 $ME=EN$；

(2)圆台上底直径为 $12$ cm、下底直径为 $24$ cm、高为 $8$ cm，求圆台的体积和全面积（$\pi =3.14$，精确到 $0.1$）.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)由相似三角形证 $ME=EN$；(2)求母线后代入体积与全面积公式。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)体积约 $2110$ cm³，全面积约 $1130$ cm²

✍【详细解析】

Abstract

(1)因 $MN\parallel BC\parallel AD$，$\frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC}$，合比得 $\frac{AB}{MB}=\frac{DC}{NC}$。又 $△BEM\sim △BDA$、$△CNE\sim △CDA$，得 $\frac{AD}{ME}=\frac{AB}{MB}$、$\frac{AD}{EN}=\frac{DC}{NC}$，故 $\frac{AD}{ME}=\frac{AD}{EN}$，即 $ME=EN$。 (2)上底半径 $R_1=6$、下底半径 $R_2=12$、高 $H=8$，母线 $L=\sqrt{H^2+(R_2-R_1{)}^2}=10$。体积 $V=\frac{1}{3}\pi H(R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2)=\frac{8\pi }{3}(36+144+72)\approx 2110$ cm³。全面积 $S=\pi (R_1^2+R_2^2+L(R_1+R_2))=\pi (36+144+180)\approx 1130$ cm²。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：梯形与圆台

核心方法：相似与圆台体积面积

避坑指南：平行线比例证 $ME=EN$；圆台体积与全面积公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆台

结论推广：体积 $2110$ cm³、全面积 $1130$ cm²

方法推广：圆台体积与全面积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-16 解-正三棱柱的截面与体积
• 1985-上海文-10 填-旋转体的体积