2006-湖南文-04 单-球截面面积

本题导读

本题考查球，以及截面。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 过半径为 $2$ 的球 $O$ 表面上一点 $A$ 作球 $O$ 的截面，若 $OA$ 与该截面所成的角是 $60^{\circ }$，则该截面的面积是()

A. $\pi$　　　　　　　B. $2\pi$　　　　　　　C. $3\pi$　　　　　　　D. $2\sqrt{3}\pi$

🔍【思路分析】

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1. 设截面圆心为 $O_1$，则 $O{O}_1\perp$ 截面，$OA$ 与截面所成角即 $\angle OA{O}_1=60^{\circ }$。
2. 直角三角形 $OA{O}_1$ 中：$r=O_{1}A=OA\cos 60^{\circ }=2\times \frac{1}{2}=1$。
3. 截面面积 $S=\pi r^2=\pi$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设截面圆心为 $O_1$，由 $O{O}_1\perp$ 截面圆所在平面，$OA$ 与截面所成的角即 $\angle OA{O}_1=60^{\circ }$． 在 $\mathrm{Rt}△OA{O}_1$ 中，$O_{1}A=OA\cos 60^{\circ }=2\times \frac{1}{2}=1$，即截面圆半径 $r=1$． 故截面面积 $S=\pi r^2=\pi$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球截面面积

核心方法：球半径 $2$，$OA$ 与截面成 $60^{\circ }$，截面圆半径 $r=2\cos 60^{\circ }=1$，面积 $\pi$

避坑指南：直角三角形中 $r=R\cos \alpha$（$\alpha$ 为线面角）；$OA$ 是斜线不是垂线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 球截面面积，球几何

结论推广: $r=R\cos \alpha$，$S=\pi r^2$

方法推广: 球截面：$R^2=d^2+r^2$，线面角在直角三角形中求

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-08 单-球截面圆面积比
• 2008-大纲Ⅱ文-12 单-球截面圆心距
• 2008-安徽文-16 填-球面距离
• 2008-江西文-15 填-球的弦长与距离最值