2004-江苏卷-04 单-球的性质与截面圆特征

本题导读

本题考查球的性质与截面圆特征，以及勾股定理的空间几何应用。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 一平面截一球得到直径是 $6\text{ cm}$ 的圆面，球心到这个平面的距离是 $4\text{ cm}$，则该球的体积是 ()

A. $\frac{100\pi }{3}{\text{ cm}}^3$　　B. $\frac{208\pi }{3}{\text{ cm}}^3$　　C. $\frac{500\pi }{3}{\text{ cm}}^3$　　D. $\frac{416\sqrt{3}\pi }{3}{\text{ cm}}^3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（提取截面圆半径）：已知平面截球得到的圆面直径为 $6\text{ cm}$。根据圆的代数特征，截面圆的半径 $r=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$。
2. 第二步逻辑（勾股定理求球半径）：设球的半径为 $R$，球心到截面平面的垂直距离为 $d=4\text{ cm}$。根据球的截面几何性质，球心、截面圆心以及截面圆周上任意一点在空间中严格构成一个直角三角形。由勾股定理可得关系式： $R^2=r^2+d^2$。代入数据求出 $R$ 的值。
3. 第三步逻辑（球体积公式求值）：将求得的球半径 $R$ 代入标准的球体体积计算公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 中，完成最终的算术求解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 运用空间几何关系求解球的半径 $R$： 已知一平面截球得到的截面圆直径为 $6\text{ cm}$，则该截面圆的半径 $r$ 为： $r=\frac{6}{2}=3\text{ cm}\text{（式1）}$ 已知球心到该截面平面的垂直距离为： $d=4\text{ cm}\text{（式2）}$

  设该球的半径为 $R$。根据球的几何本质性质，球心、截面圆的圆心与截面圆周上的任一点构成的特殊平面图形是以 $R$ 为斜边的直角三角形。 根据勾股定理： $R^2=r^2+d^2\text{（式3）}$ 将（式1）与（式2）的数据代入（式3）的特征方程中： $R^2=3^2+4^2=9+16=25$ 对两边同时取算术平方根，锁定球的半径为： $R=\sqrt{25}=5\text{ cm}\text{（式4）}$

• 套用体积公式求解球的体积： 根据三维空间立体几何标准公式，球体的体积计算方程为： $V=\frac{4}{3}\pi R^3\text{（式5）}$ 将已求得的球半径 $R=5\text{ cm}$（式4）代入（式6）的体积方程中： $V=\frac{4}{3}\pi \times 5^3=\frac{4}{3}\pi \times 125=\frac{500\pi }{3}{\text{ cm}}^3$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的截面恒等性质性质 $R^2=r^2+d^2$；直角三角形（勾股数 3, 4, 5）的空间投影；球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 的应用。
2. 核心方法：空间结构勾股化归法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易混淆截面圆的“直径”与“半径”：很多学生看到数字 6 直接当成 $r=6$ 代入计算，导致算出 $R^2=36+16=52$，从而误选了错误的衍生选项。
   • 切忌将球的体积公式与球的表面积公式 $S=4\pi R^2$ 记混：这是立体几何最普遍的基础公式失分点。在草稿纸上动笔前必须确保系数 $\frac{4}{3}$ 以及三次幂 $R^3$ 的准确书写。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材立体几何章节中关于“球的性质与体积”的课后基础练习题，是高考考查立体几何空间基本量换算的最标准高频低档题。
2. 结论推广: 若截面圆的面积为 $S_{\text{截}}$，球心到截面的距离为 $d$，则截面圆半径 $r=\sqrt{\frac{S_{\text{截}}}{\pi }}$，球半径 $R=\sqrt{r^2+d^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 2006-湖南文-04 单-球截面面积
• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式