2004-辽宁卷-10 单-球的性质与截面圆半径公式

本题导读

本题考查球的性质与截面圆半径公式，以及正方形的几何性质与外接圆。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 设 $A、B、C、D$ 是球面上的四个点，且在同一平面内， $AB=BC=CD=DA=3$，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是 ()

A. $8\sqrt{6}\pi$　　　　　　B. $64\sqrt{6}\pi$　　　　　　C. $24\sqrt{2}\pi$　　　　　　D. $72\sqrt{2}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（解构截面几何图形）：已知 $A,B,C,D$ 四点在同一个平面内，且满足四条边长严格全等： $AB=BC=CD=DA=3$．这意味着该截面几何图形是一个边长为 3 的菱形．又因为这四个顶点同时栖息在球面上，表明该菱形必须完整拥有一个外接圆（即球体被该平面截得的截面圆）。在平面几何中，拥有外接圆的菱形被唯一、刚性确定为正方形。由此可根据正方形性质算出该截面圆的半径 $r$．
2. 第二步逻辑（联立球体截面直角三角形）：设球的半径为 $R$．根据球的几何量性质，球心 $O$、截面圆圆心 $O^{\prime }$ 以及截面圆周上任意一点（如点 $A$）构成一个直角三角形 $△O{O}^{\prime }A$，其中 $\angle O{O}^{\prime }A=90^{\circ }$．斜边为球半径 $R$，一条直角边为球心到平面的垂直距离 $d=\frac{1}{2}R$，另一条直角边为截面圆半径 $r$．套用勾股定理建立关于 $R$ 的代数方程求解。
3. 第三步逻辑（求解球的体积）：利用球的体积标准封闭公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 输入已解出的半径 $R$，计算输出最终的选择答案。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 求解截面圆的半径 $r$： 已知 $A,B,C,D$ 是球面上的四个点，且在同一平面内，各边长满足： $AB=BC=CD=DA=3\text{（式1）}$ 这表明四边形 $ABCD$ 是平面内的一个菱形． 由于这四个顶点同时位于球面上，则该平面截球体所得的截面圆（圆 $O^{\prime }$）即为四边形 $ABCD$ 的外接圆． 根据平面几何基本定理，由于任意平行四边形/菱形若存在外接圆，其对角之和必为 $180^{\circ }$，从而迫使其内角退化为 $90^{\circ }$． 这唯一断定：截面四边形 $ABCD$ 是一个边长为 3 的正方形．

  在该正方形内，对角线 $AC$ 的长度由勾股定理可得： $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\text{（式2）}$ 因为正方形的外接圆直径严格等于其对角线长（即 $2r=AC$），由此求得该截面圆的半径 $r$ 为： $r=\frac{AC}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}⟹r^2={\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}\text{（式3）}$

• 运用空间勾股定理求解球半径 $R$： 设球的半径为 $R(R>0)$． 题目给定已知条件：球心到该截面平面的垂直距离 $d$ 是球半径的一半，即： $d=\frac{1}{2}R⟹d^2=\frac{1}{4}{R}^2\text{（式4）}$ 根据球体的核心几何量性质（球心、截面圆心与球面上动点构成直角三角形），三者度量严格满足勾股定理： $R^2=d^2+r^2\text{（式5）}$ 将（式4）的距离项与（式3）的截面半径平方项代入（式5）的方程中： $R^2=\frac{1}{4}{R}^2+\frac{9}{2}\text{（式6）}$ 方程两边同时减去 $\frac{1}{4}{R}^2$ 移项化简： $\frac{3}{4}{R}^2=\frac{9}{2}⟹R^2=\frac{9}{2}\times \frac{4}{3}=6\text{（式7）}$ 对（式7）开平方，求得球的精确半径为： $R=\sqrt{6}\text{（式8）}$

• 计算球的体积 $V$： 将求得的球半径 $R=\sqrt{6}$（式8）代入标准的球体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 中： $V=\frac{4}{3}\pi \cdot (\sqrt{6}{)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 6\sqrt{6}\text{（式9）}$ 对系数进行约分计算： $V=4\times 2\sqrt{6}\cdot \pi =8\sqrt{6}\pi$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球面截面圆恒等性质方程 $R^2=d^2+r^2$ 的熟练应用；正方形对角线与其外接圆半径的初等转化；球体积公式的代数计算。
2. 核心方法：立体平面化转换法、勾股定理消元法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在推导截面图形时，由于审题不严密误将其当成‘普通菱形’而认为半径不可求：很多学生只关注到 $AB=BC=CD=DA=3$，主观上认为这只是个普通的菱形，在没有给出内角的情况下无法确定对角线，从而卡死在第一步。请牢记立体几何外接铁律：平面多边形只要能够放入圆内（拥有外接圆），其各顶点的几何曲率就受到了强约束。特别是对于‘各边相等的全等平面多边形’，若能外接于圆，则该图形在拓扑上严格等价于‘正多边形’（本题中四边全等的菱形外接于圆，唯一化简为正方形）。通过这个几何性质，直接锁定正方形对角线，可实现瞬间破题。
   • 注意球体积公式中的系数是 $\frac{4}{3}$ 且自变量是 $R^3$，切忌记成球表面积公式 $4\pi R^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出处为高中数学教材立体几何“球与多面体组合体”章节的末尾核心综合大题，是高考考查空间想象能力与截面圆恒等性质性质最经典的常规中档题。
2. 结论推广: 若截面圆内含边长 $a$ 的正 $n$ 边形，球心到截面距离为 $d$，则截面圆半径 $r=\frac{a}{2\sin \frac{\pi }{n}}$，球半径 $R=\sqrt{r^2+d^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 2006-湖南文-04 单-球截面面积
• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式