2006-安徽文-12 单-正方体顶点概率

本题导读

本题考查古典概型，以及正方体的结构。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 在正方体上任选 $3$ 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 ()

A. $\frac{1}{7}$　　　　　　　B. $\frac{2}{7}$　　　　　　　C. $\frac{3}{7}$　　　　　　　D. $\frac{4}{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总数 ${\mathrm{C}}_8^3=56$ 个三角形。
2. 直角非等腰：直角顶点处一条棱与一条不共面的面对角线垂直，每个顶点 $3$ 个。
3. 共 $8\times 3=24$ 个。
4. $P=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

在正方体上任选 $3$ 个顶点连成三角形，共有 ${\mathrm{C}}_8^3=56$ 个三角形。 直角非等腰三角形的构成：直角顶点在正方体某顶点，两条边分别为一条棱和一条与该棱垂直且不共面的面对角线（边长为 $a$ 与 $\sqrt{2}a$）。 每个顶点处这样的三角形恰有 $3$ 个，共 $8\times 3=24$ 个。 故所求概率 $P=\frac{24}{{\mathrm{C}}_8^3}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$，选 C。 ★【裁定】答案册标 D（4/7），但官方详解（21cnjy/zybang/百度文库/bodocs/1010jiajiao 五源一致）均为 $\frac{3}{7}$（24 个直角非等腰三角形），按 C 录入。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体顶点概率

核心方法：每顶点计数再乘 8

避坑指南：每个顶点引一边与一条面对角线垂直构成直角非等腰三角形 $3$ 个，共 $24$ 个，$P=\frac{24}{{\mathrm{C}}_8^3}=\frac{3}{7}$；直接数容易重漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自正方体顶点的古典概型，排列组合与几何结合的代表作

结论推广: “每顶点计数再乘对称数”推广到各类几何概型计数

方法推广: 直角非等腰=一边与一条面对角线垂直，每顶点恰 $3$ 个

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-10 单-正方体概率
• 2011-安徽卷文-09 单-正六边形矩形概率