2004-重庆文-12 单-有孔正方体表面积

本题导读

本题考查有孔正方体的表面积计算，重点在于孔内壁的计数。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 如图，棱长为 $5$ 的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为 $1$ 的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是()

A. $258$　　　　　　B. $234$　　　　　　C. $222$　　　　　　D. $210$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 外表面：每个面扣两个 $1\times 1$ 孔，$6(5^2-2\cdot 1^2)=138$。
2. 孔内壁：三条通道各两条，扣除交会处，总面积 $84$。
3. 表面积 $138+84=222$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

六个直通孔按方向分成三组，每组两个。外表面从每个面扣除两个边长为 $1$ 的孔，故 $S_{\text{外}}=6(5^2-2\times 1^2)=138$.孔内壁：每条通道四壁面积为 $4\times 5\times 1=20$，沿三个方向的每条通道分别有 $4,6,8$ 个内壁单位面处于交会处，故三组两条通道的内壁面积分别为 $(20-4)\times 2=32$、$(20-6)\times 2=28$、$(20-8)\times 2=24$，孔内各面总面积 $S_{\text{内}}=32+28+24=84$（交会处按实际边界只计一次）．故表面积 $S=138+84=222$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有孔正方体表面积
2. 核心方法：外表面 $6(5^2-2\cdot 1^2)=138$，孔内壁总面积 $84$，表面积 $138+84=222$
3. 避坑指南：每个面扣两个 $1\times 1$ 孔；孔内壁按实际边界计一次，勿把交会处重复计算

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于正方体表面积，教材”立体几何”
2. 结论推广: 一般化：有孔几何体表面积 = 外表面 + 孔内壁，交会处计一次；外表面扣孔，孔内壁按实际边界计数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2005-北京春文-12 填-正方体切拼表面积
• 2005-重庆卷文-10 单-塔形正方体表面积递推
• 2006-安徽文-12 单-正方体顶点概率