2005-北京春文-12 填-正方体切拼表面积

本题导读

本题考查正方体的切拼与棱柱的表面积。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 $a$，将该正方体沿对角面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 切开得两个全等三棱柱，底面为直角边 $a$ 的等腰直角三角形，斜边 $a\sqrt{2}$。
2. 一个三棱柱表面积：两底面 $a^2$ 加三侧面 $a^2+a^2+a^2\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})a^2$，共 $(3+\sqrt{2})a^2$。
3. 拼接重合一对 $a^2$ 的矩形面：全面积 $2(3+\sqrt{2})a^2-2a^2=(4+2\sqrt{2})a^2$。

✅【答案】

Success

$(4+2\surd 2)a2$

✍【详细解析】

Abstract

切开后得到两个全等的三棱柱，每个三棱柱的三角形底面是直角等腰三角形，直角边均为 $a$，斜边为 $a\sqrt{2}$．一个三棱柱的两个三角形底面面积之和为 $a^2$，三个侧面面积之和为 $a^2+a^2+a^2\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})a^2$，所以其表面积为 $(3+\sqrt{2})a^2$． 拼接成四棱柱时，两块沿一个面积为 $a^2$ 的矩形面相接，该矩形面的两份面积变为内部面积．因此所得四棱柱的全面积为 $2(3+\sqrt{2})a^2-2a^2=(4+2\sqrt{2})a^2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体切拼表面积

核心方法：切拼前后表面积守恒算重合面

避坑指南：两个三棱柱表面积和 $2(3+\sqrt{2})a^2$，拼接重合一对 $a^2$ 面，全面积 $(4+2\sqrt{2})a^2$；重合面是两份各 $a^2$，别只减一份

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何体的切拼与表面积（人教 A 版必修二）

结论推广：切拼不改体积，表面积变化只发生在重合/新增面上

方法推广：切拼问题数”消失面”与”新增面”，逐面清点面积变化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅱ文-12 单-正方体展开图
• 2018-全国卷I理-12 单-正方体性质