2004-湖南文-10 单-正方体直角三角形计数

本题导读

本题考查正方体顶点构成三角形的计数，重点在于直角三角形的判定与计数。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为()

A. $56$　　　　　　　B. $52$　　　　　　　C. $48$　　　　　　　D. $40$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 任取三点共 ${\mathrm{C}}_8^3=56$ 个三角形。
2. 正方体每个面上有 $4$ 个直角三角形（以面内两相邻边为直角边），$6$ 面共 $24$。
3. 跨面：每个面对角线（$12$ 条）与对棱中点？按”含正方体直角”计数，共 $48$ 个，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

正方体八个顶点任取三点共可作 ${\mathrm{C}}_8^3=56$ 个三角形。正方体中共有直角（由相邻两棱构成）处处可见：每个面是正方形，其 $4$ 个顶点中任取 $3$ 个都构成直角三角形，$6$ 个面共 $6\times 4=24$ 个；此外还有 $24$ 个”跨面”的直角三角形（如过一条棱与一条与之垂直的面对角线）。故直角三角形总数为 $48$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体直角三角形计数
2. 核心方法：八个顶点任取三点共 ${\mathrm{C}}_8^3=56$ 个三角形；非直角三角形是各面上以面对角线为斜边的钝角？正方体各面是正方形，任一面三点中必有两相邻顶点成直角边，故每个面 4 个直角三角形，6 面共 $6\times 4=24$；再算跨面直角三角形
3. 避坑指南：正方体任取三点构成三角形，若含正方体的直角（相邻棱）必为直角；分类计数勿重漏

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于立体几何计数，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：正方体取点作三角形，分类数直角；按是否含正方体直角分类，逐类计数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-16 单-正方体正交线面对计数
• 2006-安徽文-12 单-正方体顶点概率
• 2005-湖南卷文-04 单-正方体中点面距离